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1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系【选题明细表】知识点、方法题号四种命题的概念1,2,3,6,9四种命题的真假判断4,5,7,10,12等价命题的应用8综合应用11,13【基础巩固】1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(D)(A)若a-b,则|a|b|(B)若a=-b,则|a|b|(C)若|a|b|,则a-b(D)若|a|=|b|,则a=-b解析:将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.故选D.2.命题“若AB=A,则AB=B”的否命题是(A)(A)若ABA,则ABB(B)若AB=B,则AB=A(C)若ABB,则ABA(D)若ABA,则AB=B解析:命题“若p,则q”的否命题为“若非p,则非q”,故A正确.3.(2018贵阳高二月考)命题:“若x21,则-1x1”的逆否命题是(D)(A)若x21,则x1,或x-1(B)若-1x1,则x21,或x1(D)若x1,或x-1,则x21解析:-1x1的否定为x-1或x1,x2-3,则a-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.因为逆命题为“若a-6,则a-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是2.故选B.5.(2017马鞍山二中期末)下列说法中正确的是(D)(A)一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真(B)“|a|b|”与“a2b2”不等价(C)“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b20”(D)一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:对于A.一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,但是逆否命题不能判断真假,所以A不正确;对于B.“|a|b|”与“a2b2”是等价不等式,所以B不正确;对于C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b20”,不是“若a,b全不为0,则a2+b20”,所以C不正确;对于D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真,满足四种命题的真假关系,正确.故选D.6.命题“若ab,则2a2b-1”的否命题是.解析:“若p,则q”的否命题为“若p,则q”.答案:若ab,则2a2b-17.(2017吉安高二检测)有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;“若ab,则ac2bc2”的逆否命题.解析:中逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题.的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根,则q1”,为真命题,由=4-4q0,得q1,中当c=0时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题.综上可知是真命题.答案:【能力提升】8.命题“如果xa2+b2,那么x2ab”的等价命题是(C)(A)如果xa2+b2,那么x2ab(B)如果x2ab,那么xa2+b2(C)如果x2ab,那么xa2+b2(D)如果xa2+b2,那么xb,则am2bm2;在ABC中,若sin A=sin B,则A=B;在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac0,则a0且b0,是假命题,逆否命题是:若a0且b0,则ab0,是真命题;对于,原命题是:若ab,则am2bm2,是假命题,逆命题是:若am2bm2,则ab,是真命题,否命题是:若ab,则am2bm2,是真命题,逆否命题是:若am2bm2,则ab,是假命题;对于,原命题是:在ABC中,若sin A=sin B,则A=B,是真命题,逆命题是:在ABC中,若A=B,则sin A=sin B,是真命题,否命题是:在ABC中,若sin Asin B,则AB,是真命题,逆否命题是:在ABC中,若AB,则sin Asin B,是真命题;对于,原命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac0,则方程有实数根,是假命题,逆命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程有实数根,则b2-4ac0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为.解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m0,解得m3;又p(2)是真命题,所以4+4-m0,解得m8.故实数m的取值范围是3,8).答案:3,8)12.(2017宣化区高二期中)写出命题“若x2-3x+20,则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:因为原命题是“若x2-3x+20,则x1且x2”,所以它的逆命题是:若x1且x2,则x2-3x+20,是真命题;否命题是:若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,是真命题;逆否命题是:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题.【探究创新】13.(2018衡中周测)在等比数列an中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题;(2)判断这个命题的逆命题何时为假,何时为真,并给出证明.解:(1)这个命题的逆命题是:在等比数列an中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.否命题是:在等比数列an中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列,则am,am+2,am+1不成等差数列.逆否命题是:在等比数列an中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1不成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.(2)设等比数列an的公比为q,则当q=1时,这个命题的逆命题为假,证明如下:易知am=am+2=am+1=a10,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm+2-Sm=2a1,Sm+1-Sm+2=-a1,显然Sm+2-SmSm+1-Sm+2.当q1时,这个命题的逆命题为真,证明如下:因为am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,若am,am+2,am+1成等差数列,则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,即1+q=2q2,q=-,又Sm+2-Sm=-=a1(-)m,Sm+1-Sm+2=-am+2=a1(-)m,所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
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