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2.3.1平面向量基本定理课后篇巩固探究A组基础巩固1.在正方形ABCD中,AC与CD的夹角等于()A.45B.90C.120D.135解析如图,将AC平移到CE,则CE与CD的夹角即为AC与CD的夹角,且夹角为135.答案D2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4解析因为向量e1与e2不共线,所以3x=4y-7,10-y=2x,解得x=3,y=4.答案D3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为()A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2答案C4.若点D在ABC的边BC上,且CD=4DB=rAB+sAC,则3r+s的值为()A.165B.125C.85D.45解析CD=4DB=rAB+sAC,CD=45CB=45(AB-AC)=rAB+sAC,r=45,s=-45,3r+s=345-45=85.答案C5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第部分,则实数m,n满足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;OB与OP2方向相反,则n0.答案B6.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.解析由已知得,存在R,使得a=b,即xe1+2e2=3e1+ye2,所以x=3,2=y,故xy=32=6.答案67.如图,C,D是AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC=,OD=.解析OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,OD=OC+CD=OC+13AB=23e1+13e2+13(e2-e1)=13e1+23e2.答案23e1+13e213e1+23e28.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析由题意可画出图形,在OAB中,OAB=60,又|b|=2|a|,ABO=30.BOA=90,a与c的夹角为180-BOA=90.答案909.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明假设a,b共线,则a=b(R),则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得=1,3=-2,即=1,=-23.所以不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.故c=2a+b.10.导学号68254073如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).(2)证明由(1)知,BE=23BF,BE,BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.B组能力提升1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足OP=OB+OC2+AP(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析设线段BC的中点为D,则有OD=12(OB+OC),因此由已知得OP=OD+AP,即OP-OD=AP,于是DP=AP,则DPAP,因此P点在直线AD上,又AD是ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.答案C2.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.解析如图,由题意知,D为AB的中点,BE=23BC,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC.1=-16,2=23.1+2=-16+23=12.答案123.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),则+的值等于.解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.在RtOCD中,因为|OC|=23,COD=30,OCD=90,所以|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2OB,即=4,=2,所以+=6.答案64.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值.解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.又BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2,3+=3,解得=45,=35.AP=45AM,即APPM=41.5.导学号68254074如图,已知OAB,若正实数x,y满足x+y1,且有OP=xOA+yOB.证明:点P必在OAB内部.证明由题意可设x+y=t,t(0,1),则xt+yt=1.设P为平面内一点,且OP=xtOA+ytOB,则AP=OP-OA=xt-1OA+ytOB=yt(OB-OA)=ytAB,所以点P在直线AB上.又yt(0,1),所以点P在线段AB上(异于端点).因为OP=xOA+yOB=t OP,t(0,1),即点P在线段OP上(异于端点),所以点P必在OAB内部.
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