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2.2.3待定系数法【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法1,5,7数形结合与待定系数法2,4,6,8二次函数综合应用3,9,10,111.已知一个一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为(B)(A)y=x- (B)y=x+(C)y=-x+(D)y=-x-解析:可将点代入验证或用待定系数法求解.2.如果函数y=ax+2与y=bx+3的图象相交于x轴上一点,那么a,b的关系是(B)(A)a=b (B)ab=23(C)a+2=b+3(D)ab=1解析:设两函数图象交于x轴上的点为(t,0),代入解析式有a=-,b=-,所以ab=23.3.(2018北京海淀19中期中)已知二次函数f(x),f(0)=6,且f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是(D)(A)f(x)=x2+x+6(B)f(x)=x2-x+6(C)f(x)=x2+5x+6(D)f(x)=x2-5x+6解析:法一由f(3)=f(2)=0可知二次函数对称轴方程为x=.四个选项中只有D选项对称轴方程为x=.故选D.法二因为f(3)=f(2)=0,所以2,3是函数图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数的解析式可设为f(x)=a(x-2)(x-3).结合f(0)=6可知a=1.所以选D.4.已知二次函数的二次项系数为1,该函数图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),则此二次函数的解析式为.解析:由题可设f(x)=x2+px+q,因为图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),所以(2,0)是抛物线的顶点,即-=2,所以p=-4,又f(2)=22-42+q=0,所以q=4,所以f(x)=x2-4x+4.答案:f(x)=x2-4x+45.(2018北京西城13中期中)已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,则a-b=.解析:一次函数f(x)=4x+3,所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,得解得a=2,b=1.所以a-b=1.答案:16.如图所示,一次函数图象经过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为(B)(A)y=-x+2(B)y=x+2(C)y=x-2(D)y=-x-2解析:设一次函数解析式为y=kx+b(k0),由已知可得A(0,2),B(-1,1)在一次函数图象上.所以解得所以一次函数表达式为y=x+2.故选B.7.二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(1,7),且有f(x)f(-2)=-2,则f(x)的解析式为(B)(A)f(x)=x2+2x+2(B)f(x)=x2+4x+2(C)f(x)=x2+4x-2(D)f(x)=x2+4x+4解析:依题意,f(x)=a(x+2)2-2,将点(1,7)代入得7=9a-2.所以a=1,所以f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2.故选B.8.二次函数满足f(1+x)=f(1-x),且在x轴上的一个截距为-1,在y轴上的截距为3,则其解析式为 .解析:由f(1+x)=f(1-x)知二次函数的对称轴为x=1,且过(-1,0),(0,3),设f(x)=ax2+bx+c.则解得答案:f(x)=-x2+2x+39.已知二次函数y=f(x),当x=2时函数取最小值-1,且f(1)+f(4)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-kx在区间1,4上不单调,求实数k的取值范围.解:(1)由条件设f(x)=a(x-2)2-1;又f(1)+f(4)=3,则a=1,所以f(x)=x2-4x+3.(2)当x1,4时,由题意,g(x)=x2-(k+4)x+3,因其在区间1,4上不单调,则有14,解得-2k0)上的最大值.解:(1)设二次函数f(x)的解析式为y=a(x-k)2+h,由f(1)=f(5)知,f(x)图象关于直线x=3对称,所以k=3.又f(x)max=3,所以h=3.由f(1)=-5得a=-2.所以y=-2(x-3)2+3=-2x2+12x-15.(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=3.当2+a3,即03,即a1时,f(x)在2,3上为增函数,在(3,2+a上为减函数所以f(x)max=f(3)=3.综上f(x)max=
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