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第3讲导数的综合应用(B)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数与不等式1,2,4导数与函数零点31.(2018广西三市第二次调研)设函数f(x)=1-a2x2+ax-ln x(aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a(3,4)及任意x1,x21,2,恒有(a2-1)m2+ln 2|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+),当a=1时,f(x)=x-ln x,f(x)=1-1x=x-1x.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)极小值=f(1)=1,无极大值.(2)f(x)=(1-a)x+a-1x=(1-a)x2+ax-1x=(1-a)(x-1a-1)(x-1)x,当a(3,4)时,f(x)在1,2上单调递减,f(1)是最大值,f(2)是最小值.所以|f(x1)-f(x2)|f(1)-f(2)=a2-32+ln 2,所以(a2-1)m2+ln 2a2-32+ln 2,因为a(3,4),所以ma-3a2-1,由3a4得0a-3a2-11时,(x+1)(x+1ex)f(x)2(1+1e).(1)解:f(x)=a+lnxx的定义域为(0,+),且f(x)=1-(a+lnx)x2=1-lnx-ax2.由f(x)01-ln x-a0ln x1-a0x00x2(1+1e)等价于1e+1(x+1)(lnx+1)x2ex-1xex+1.令p(x)=(x+1)(lnx+1)x,则p(x)=x-lnxx2,令(x)=x-ln x,则(x)=1-1x=x-1x,因为x1,所以(x)0,所以(x)在(1,+)上单调递增,(x)(1)=10,p(x)0,所以p(x)在(1,+)上单调递增,所以p(x)p(1)=2,所以p(x)e+12e+1,令h(x)=2ex-1xex+1,则h(x)=2ex-1(1-ex)(xex+1)2,因为x1,所以1-ex0,所以h(x)1时,h(x)2e+1h(x),即(x+1)(x+1ex)f(x)2(1+1e).3.已知函数f(x)=a(x-1)2+ln x,aR.(1)当a=2时,求函数y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程;(2)当a=-1时,令函数g(x)=f(x)+ln x-2x+1+m,若函数g(x)在区间1e,e上有两个零点,求实数m的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=2(x-1)2+ln x=2x2-4x+ln x+2.当x=1时,f(1)=0,所以点P(1,f(1)为P(1,0),又f(x)=4x-4+1x,因此k=f(1)=1,因此所求切线方程为y-0=1(x-1)即y=x-1.(2)当a=-1时,g(x)=2ln x-x2+m,则g(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x.因为x1e,e,所以当g(x)=0时,x=1,且当1ex0;当1xe时,g(x)0,故g(x)在x=1处取得极大值也即最大值g(1)=m-1.又g(1e)=m-2-1e2,g(e)=m+2-e2,g(e)-g(1e)=m+2-e2-m+2+1e2=4-e2+1e20,则g(e)0,g(1e)=m-2-1e20,解得1m2+1e2,所以实数m的取值范围是(1,2+1e2.4.(2018江西九校联考)已知函数f(x)=xln x+2x2-2.(1)若函数y=g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=e对称,试求y=g(x)在零点处的切线方程;(2)函数h(x)=f(x)-178x2-x在定义域内的两极值点为x1,x2,且x1x2,试比较x1x22与e3的大小,并说明理由.解:(1)令f(x)=0得,xln x+2x2-2=0,显然x=1是y=f(x)的一个零点,又ln x=2-2x2x=2x-2x,在(0,+)上y=ln x为增函数,y=2x-2x为减函数,所以y=f(x)有且只有一个零点x=1.又f(x)=1+ln x+4x,所以f(1)=5,故y=f(x)在零点处的切线方程为y=5x-5,函数y=g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=e对称,所以y=g(x)的零点为x=2e-1,在此处的切线斜率为-5,所以所求方程为y=-5(x+1-2e).(2)h(x)=f(x)-178x2-x=xln x+2x2-2-178x2-x=xln x-18x2-x-2,h(x)=1+ln x-14x-1=ln x-14x,所以ln x1-14x1=0,ln x2-14x2=0,要比较x1x22与e3的大小,只需比较ln x1+2ln x2与3的大小.由ln x1-14x1=0,ln x2-14x2=0,得ln x1-ln x2x1-x2=14,所以ln x1+2ln x2=14(x1+2x2)=(x1+2x2)(ln x1-ln x2)x1-x2=(x1x2+2)ln x1x2x1x2-1,设u(x)=(x+2)lnxx-1-3(其中x=x1x2,x(0,1),u(x)=(x+2)lnxx-1-3=x+2x-1(ln x-3x-3x+2),由y=ln x-3x-3x+2,x(0,1,得y=1x-9(x+2)2=(x-1)(x-4)x(x+2)20,x(0,1,故y=ln x-3x-3x+2,x(0,1为增函数,最大值为0.所以在(0,1)上,y=ln x-3x-3x+20,因为x+2x-10,即(x+2)lnxx-13,综上所述,x1x22e3.
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