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第二章2.32.3.2 离散型随机变量的方差A级基础巩固一、选择题1若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，则P(X1)的值为(C)A322B24C3210D28解析E(X)np6，D(X)np(1p)3，p，n12，则P(X1)C()1132102设随机变量X的概率分布列为P(Xk)pk(1p)1k(k0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是(D)A0和1 Bp和p2Cp和1p Dp和(1p)p解析由X的分布列知，P(X0)1p，P(X1)p，故E(X)0(1p)1pp，易知X服从两点分布，D(X)p(1p)3已知随机变量和，其中102，且E()20，若的分布列如下表，则m的值为(A)1234PmnA B C D解析E()E(102)10E()220，E()1.8即：12m3n41.8，2m3n又mn1由得，m4(2018浙江卷，7)设0pD(X2)，所以乙比甲技术稳定B级素养提升一、选择题1(2018全国卷理，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则p(B)A0.7 B0.6 C0.4 D0.3解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即XB(10，p)，所以DX10p(1p)2.4，所以p0.4或0.6又因为P(X4)P(X6)，所以Cp4(1p)6Cp6(1p)4，所以p0.5，所以p0.6故选B2(2018杭州二模)已知 0a，随机变量的分布列如下：101Paa当 a 增大时，(A)AE()增大，D()增大BE()减小，D()增大CE()增大，D()减小DE()减小，D()减小解析0a，由随机变量的分布列，得：E()a，当 a 增大时，E()增大；D()(1a)2(0a)2(a)(1a)2aa2 aa(a)2，0a，当 a 增大时，D()增大故选A二、填空题3已知随机变量的概率分布列如下：4a9P0.50.1b已知E()6.3，随机变量B(a，b)，则D()_1.68_解析由分布列的性质知b10.50.10.4，E()40.50.1a90.40.1a5.66.3，a7，B(a，b)，即B(7,0.4)，D()70.4(10.4)1.684已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_10.5、10.5_解析由题意得10.5，ab21，10，s2(102)2(103)2(103)2(107)2(10a)2(10b)2(1012)2(1013.7)2(1018.3)2(1020)282727232(10a)2(10b)243.728.32102(10a)2(1021a)22(a10.5)2当a10.5时，方差s最小，b10.5三、解答题5现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解析(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P()(2)X所有的可能取值为0、1、2、3P(X0)C()0()2；P(X1)C()1()1C()0()2；P(X2)C()2()0C()1()1；P(X3)C()2()0所以X的分布列为：X0123P所以E(X)012326现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下(如：落在区间10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在10,20)、20,30)、30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望解析(1)由频率分布直方图知：(0.06250.05000.0375a20.0125)51，a0.0250其中为一级运动员的概率为(0.01250.0375)50.25，选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25164人(2)由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布列为：X0123P(3)由已知得YB(3，)，E(Y)np3，含有一级运动员人数Y的期望为C级能力拔高下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解析设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2，13)，根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8，所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2)所以X的分布列为：X012P故X的期望E(X)012(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大
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