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2019-2020年高三数学二轮复习 函数压轴题精编解析 理 新人教A版1、(本小题满分14分)已知二次函数.(1)若,试判断函数零点个数;(2)若对且,试证明,使成立。(3)是否存在,使同时满足以下条件对,且;对,都有。若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。解(1) 1分,当时,函数有一个零点; 当时,函数有两个零点。3分(2)令,则 ,5分在内必有一个实根。即,使成立。8分(3) 假设存在,由知抛物线的对称轴为x1,且 10分由知对,都有令得由得, 12分当时,其顶点为(1,0)满足条件,又对,都有,满足条件。存在,使同时满足条件、。 14分2、已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且.() 证明: 函数在上是减函数;() 求证:是钝角三角形;() 试问,能否是等腰三角形?若能,求面积的最大值;若不能,请说明理由解:() 所以函数在上是单调减函数. 4分 () 证明:据题意且x1x2f (x2)f (x3), x2=6分8分即是钝角三角形.9分() 假设为等腰三角形,则只能是即 .12分而事实上, 由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾.所以不可能为等腰三角形. .14分3、(本小题满分14分)规定其中,为正整数,且这是排列数是正整数,且的一种推广()求的值;()排列数的两个性质:, (其中m,n是正整数)是否都能推广到是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;()确定函数的单调区间解:(); 2分()性质、均可推广,推广的形式分别是:, 4分事实上,在中,当时,左边, 右边,等式成立;当时,左边 , 因此,成立; 6分在中,当时,左边右边,等式成立;当时,左边右边,因此 成立。 8分()先求导数,得.令0,解得x.因此,当时,函数为增函数,11分当时,函数也为增函数。令0,解得x.因此,当时,函数为减函数.13分所以,函数的增区间为, 函数的减区间为14分4、(本小题满分14分)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的,且当时,.()求证:函数f(x)为奇函数;()求证:()求函数在区间-n,n(n)上的最大值和最小值。()证明:对任意的 令得 1分令得2分 由得函数为奇函数3分()证明:(1)当n1时等式显然成立(2)假设当nk(k)时等式成立,即,4分则当nk1时有,由得6分 当nk1时,等式成立。综(1)、(2)知对任意的,成立。8分()解:设,因函数为奇函数,结合得,9分又当时,函数在R上单调递减12分 由(2)的结论得,2n函数为奇函数, ,2n。14分5、(本小题满分14分)已知函数f (x)=。(1)若函数f (x)在1,+)上为增函数,求正实数的取值范围;(2)当=1时,求f (x)在,2上的最大值和最小值。(3)求证:对于大于1的正整数n,。(1)f (x)= 依题0在1,+)上恒成立即a在1,+)上恒成立,a1(2)当a=1时,f (x)=,其中x,2, 而x,1)时,f (x)0, x=1是f (x)在,2上唯一的极小值点, f (x)min=f (1)=0又f ()-f (2)=-2ln2=0,f ()f (2), f (x)max=f ()=1-ln2综上,a=1时,f (x)在,2上的最大值和最小值分别为1-ln2和0(3)若a=1时,由(1)知f (x)=在1,+)上为增函数,当n1时,令x=,则x1,故f (x)f (1)=0, 即f ()=+ln=-+ln0,ln6、我们用和分别表示实数中的最小者和最大者.(1)设,函数的值域为,函数的值域为,求;(2)提出下面的问题:设,为实数,求函数()的最小值或最大值为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则,先解决两个特例:求函数和的最值。得出的结论是:,且无最大值;,且无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个,说明其成立的理由;(3)试对老师提出的问题进行研究,写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的,请选择一种情况加以证明)解:(1), (2)若选择学生甲的结论,则说明如下, ,于是在区间上是减函数,在上是减函数,在上是增函数,在上是增函数,所以函数的最小值是,且函数没有最大值 若选择学生乙的结论,则说明如下, ,于是在区间上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数 所以函数的最大值是,且函数没有最小值(3)结论:若,则;若,则;若,则, 以第一个结论为例证明如下: , 当时,是减函数,当时,是增函数当时,函数的图像是以点,为端点的一系列互相连接的折线所组成,所以有7、设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得a恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.()解:展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是()证法一:因证法二:因而故只需对和进行比较。令,有,由,得因为当时,单调递减;当时,单调递增,所以在处有极小值故当时,从而有,亦即故有恒成立。所以,原不等式成立。()对,且有又因,故,从而有成立,即存在,使得恒成立。已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:()()()若则当n2时,.点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。 分类讨论的思想方法解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。答案:解: ()先用数学归纳法证明,.(1)当n=1时,由已知得结论成立;(2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: .8、已知函数 (1)若且函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)求证:,解(1)因为, x 0,则, 当时,;当时,.所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减,所以函数在处取得极大值;(最好列表略)因为函数在区间(其中)上存在极值,所以 解得;4分(2)不等式,又,则 , 则;5分 令,则,在上单调递增,从而, 故在上也单调递增, 所以,所以. ;10分(3)由(2)知:当时,恒成立,即, 令 ,则;10分所以 ,n个不等式相加得即15分9、已知()已知对于给定区间,存在使得成立,求证:唯一;()若,当时,比较和大小,并说明理由; ()设A、B、C是函数图象上三个不同的点, 求证:ABC是钝角三角形 解:()证明:假设存在 , ,即 . 1分,上的单调增函数(或者通过复合函数单调性说明的单调性). 3分矛盾,即是唯一的. 4分() 原因如下:(法一)设 则 .5分.6分1+,.8分(法二)设,则由()知单调增所以当即时,有所以时,单调减5分当即时,有所以时,单调增6分所以,所以8分()证明:设,因为上的单调减函数9分10分为钝角. 故为钝角三角形12分
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