2018年高中数学 复习课（一）解三角形学案 苏教版选修5.doc

复习课(一)解三角形利用正、余弦定理解三角形对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由ABC，求第三个角(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由ABC，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边典例设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解(1)由a2bsin A，根据正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由于ABC是锐角三角形，所以B.(2)根据余弦定理，得b2a2c22accos B2725457，所以b.类题通法利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析：(a2c2b2)tan Bac，tan B.即cos Btan Bsin B.0B，角B的值为或.答案：或2在ABC中，A60，AC3，BC，那么AB的长为_解析：由正弦定理得，sin B1，B90，AB2AC2BC29，即AB.答案：3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解析：由正弦定理知：，解得sin B，又0Ba，可得B或.答案：或4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，其基本原则是化边为角或化角为边，实现边角的统一，而达到这一目标的工具就是正弦定理和余弦定理，题型多为填空题，难度中等三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边典例在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2sin Acos B.法一：(化边为角)由正弦定理得2sin2Acos Asin B2sin2Bsin Acos B，即sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.0A，0B，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形法二：(化角为边)2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦、余弦定理得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0.ab或c2a2b2，ABC为等腰三角形或直角三角形类题通法根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角(2)化角为边，转化的手段主要有：通过正弦定理实现边角转化；通过余弦定理实现边角转化；通过三角变换找出角之间的关系；通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状1在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为_解析：cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)故ABC为直角三角形或等腰三角形答案：等腰或直角三角形2在ABC中，已知3b2asin B，且A，B，C成等差数列，则ABC的形状为_解析：A，B，C成等差数列，AC2B，即3B，解得B.3b2asin B，根据正弦定理得3sin B2sin Asin Bsin B0，32sin A，即sin A，即A或，当A时，AB不满足条件A，C.故ABC，即ABC的形状为等边三角形答案：等边三角形3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状解：设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得bcos Aacos B.由正弦定理得：sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A，B为ABC的内角，0A，0B，ABACBC，sin Dsin C，所以SABDSABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标志费用较低，即小李的设计符合要求类题通法利用正余弦定理解决实际应用的四个步骤第一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1一艘轮船按照北偏西50的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔原来在轮船的北偏东10方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是5 海里，则灯塔和轮船原来的距离为_海里解析：画出示意图如图ABC中，AB10，BC5，BAC60.由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos 60，得AC210AC250，AC5.答案：52.如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：km)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120.当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.答：设计AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小1在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若ccos Ab，则ABC是_解析：根据余弦定理，得cb，即c2a2b2，故ABC一定是直角三角形答案：直角三角形2ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2c22b，且sin B6cos Asin C，则b的值为_解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B6cos Asin C可化为b6c，化简可得b23(b2c2a2)，又a2c22b且b0，得b3.答案：33在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b_.解析：由已知得：cos A，SABCbcsin Abc，bc3，又由余弦定理得：a2b2c22bccos A，即b2c224，b2c26，bc2，解得bc.答案：4已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，又A(0，)，所以A，又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsin A4，当且仅当bc2时，等号成立，则ABC面积的最大值为.答案：5在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.解析：由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC.答案：6在ABC中，AB3，BC，AC4，则ABC的面积等于_解析：由余弦定理，得cos A，所以sin A，所以SABCABACsin A343.答案：37设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Ccb，则角A_.解析：在ABC内应用余弦定理得：cos C，将其代入acos Ccb中可得：acb，化简整理得：b2c2a2bc，于是cos A，所以A.答案：8在ABC中，已知2acos Bc，sin Asin B(2cos C)sin2，则ABC的形状为_解析：依题意得2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin(AB)sin(AB)0，因此BA，C2A，于是有sin2A(2cos 2A)cos2A，即sin2A(32sin2A)1sin2A，解得sin2A，因此sin A，又BA必为锐角，因此BA，ABC是等腰直角三角形答案：等腰直角三角形9在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC_.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.答案：10已知ABC的面积为，AC，ABC，则ABC的周长等于_解析：由题意可得ABBCsinABC，即ABBC，所以ABBC2.再由余弦定理可得3AB2BC22ABBCcosAB2BC22，所以AB2BC25，所以(ABBC)2AB2BC22ABBC549，所以ABBC3，所以ABC的周长等于ABBCAC3.答案：311在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面积解：(1)由tan2，得tan A，所以.(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin，得sin C.设ABC的面积为S，则Sabsin C9.12.如图所示，某人在塔的正东C处沿着南偏西60的方向前进40 m到D处以后，望见塔在东北方向若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔的高度解：在BDC中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，BD20(m)在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小即BECD，这时AEB30.在RtBED中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m)在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m)，即塔的高度为(3)m.13在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解：(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.ABBC，C为锐角，则cos C.因此，sin 2C2sin Ccos C2.14已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积解：(1)证明：mn，asin Absin B，即ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(ab1舍去)，Sabsin C4sin.