杆件的横截面应力.ppt

第四章杆件的横截面应力 4 1平面图形的几何性质 杆件承载能力除与其材料性能 加载方式和尺寸有关外 还与杆件截面的几何形状有关 一 静矩和形心微面积dA乘以坐标z称为dA对y轴的静矩 同样 dA对z轴的静矩为 平面图形A对两坐标轴的静矩为 静矩是可加的 即 利用计算均质板形心的公式 可知计算几何图形形心的公式 C点是平面图形A的形心的充分必要条件 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零 SzC 0 SyC 0 根据静矩定义和静矩的可加性 为了简化复杂图形的形心计算 可以将复杂图形A分为Ai i 1 2 n 则 这种方法称为组合法 例1 求抛物线z hy2 b2下方面积的形心 解 例2 求图示面积的形心 解 二 惯性矩 惯性积和惯性半径 微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩同样 dA对z轴的惯性矩为dA对O点的极惯性矩为平面图形A对两坐标轴的惯性矩和对O点的极惯性矩分别为 惯性半径定义为 微面积元dA乘以yz称dA对yOz轴系的惯性积 平面图形A对坐标轴系的惯性积为惯性积反映平面图形对坐标轴系的对称性 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似 例4 3求矩形对边轴和形心轴的惯性矩 解 例4 求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩 解 三 平行移轴公式 研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩 惯性积之间的关系 首先根据坐标平移公式 取O1点为平面图形的形心 且SyC SzC 0 可得对于惯性积 用同样结果可以得到 针对形心轴系的平行移轴公式 以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似 例5 求图形对形心轴和y z轴的惯性矩 解 四 转轴公式 研究将坐标系逆时针旋转 角时 平面图形A的惯性矩和惯性积在新 老轴系之间的变化规律 坐标旋转公式 转轴公式的推导 平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩 平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩 平面图形A对新轴系的惯性积 经整理后 由前面的推导 可以得到 平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大 最小值极值条件 惯性主方向 惯性主轴 平面图形A对过O点沿惯性主方向的轴称惯性主轴 对称轴是惯性主轴 和该主轴垂直的轴也是惯性主轴 主惯性矩 是平面图形A对过O点惯性主轴的惯性矩 也是平面图形A对过O点各轴惯性矩的极大 极小值 过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴 形心主惯性轴 过图形上的任何一个点 都可以找到一对相互垂直的惯性主轴 一 应力即 单位截面积上作用着的内力平均应力 一点处的应力 正应力 切应力 4 2应力与应变的概念 应力的量纲 FL 2 单位 MPa 106N m2 二 应变概念 弹性变形 塑性变形应变 描述变形的剧烈程度 应变分为线 正 应变和切应变 平均线应变线应变切应变表示材料内部两正交线段在变形后的角度变化 或 切应变是直角的改变量 三 简单的应力 应变关系1 胡克定律E 弹性模量 单位 GPa1GPa 109Pa2 波松比杆件在轴向伸长时其横向同时缩短 波松比 横向线应变3 剪切胡克定律4 EG 三者之间的关系 4 3轴力与弯矩所引起的应力 一 轴力在横截面引起的应力 当杆段发生伸长 缩短时 其横截面仍为平面 仍垂直于轴线 无任何转动 杆的横截面面积发生变化 在杆件横截面上变形均匀 根据对材料的连续性假设 在杆件横截面上内力均匀分布 即杆件在拉压时横截面上仅有正应力 且在横截面上均匀分布 例4 6 如图杆件 已知qx 试求杆件中的最大应力 解 先作杆件的轴力图 可以发现 FN的最大值出现在杆的两端 故最大应力也出现在杆的两端 斜截面上的应力 拉压杆任一斜截面上的应力也是均匀分布的 正应力和切应力 最大切应力 一点的应力状态 过该点所有方向的截面上的正 切应力的总和 一般用微单元体来描述 弯矩在横截面引起的应力1 纯弯曲和平面假设纯弯曲 杆件的横截面上只有弯矩 无其它内力 平面假设 梁在变形后 横截面仍然保持为平面 仍垂直于变形后的轴线 绕中性轴发生转动 中性轴和中性层 梁在变形后 横截面上一部分材料受拉 另一部分材料受压 两部分的界线为一直线 称中性轴 各截面的中性轴连成中性层 中性层上无伸长 缩短变形 既不受拉也不受压 纵向纤维互不挤压假设 梁中各平行于轴线的纵向截面上无正应力 2 纯弯曲梁的弯曲正应力 变形几何关系 物理关系 应力应变关系 应用胡克定律得 静力学关系 由轴力为零 结论 在纯弯曲时 中性轴过形心 由正应力的合成结果是弯矩 由 1 2 3 式 得纯弯曲梁横截面正应力的计算公式 3 横力弯曲时的正应力 在截面上一般FS和M都非零 严格地讲 由于FS的作用 横力弯曲时平面假设不能成立 但对于细长梁来说 由此引入的误差很小 故认为 FS引起的横截面翘曲对变形几何关系的影响较小 在横力弯曲时 纵向纤维互不挤压的假设也不能成立 但因为在绝大多数情况下 纵截面上的正应力不大 因此对变形几何关系的影响较小 总之 在横力弯曲时 对于细长梁 上面的应力公式可以继续使用 工程上关心梁的最大正应力 对于塑性材料制成的梁 通常采用中性轴对称截面 这时最大拉 压应力相等 即 Wz 抗弯截面系数 对于矩形截面 对于圆形截面对于环形截面 4 4扭矩所引起的应力