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第三章 变化率与导数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+x,1+y),则等于() A.4B.4xC.4+2xD.4+2(x)2解析:=4+2x.答案:C2.若f(x0)=-3,则=()A.-3B.-12C.-9D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f(x0)=-3,所以=+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f(x0)=-3,所以=4=4f(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列cn为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)(x-c8),f(x)为函数f(x)的导函数,则f(0)=()A.0B.26C.29D.212解析:c1=2,c8=4,c1c2c8=84=212,f(x)=(x-c1)(x-c2)(x-c8)+x(x-c1)(x-c2)(x-c8),则f(0)=c1c2c8=212.答案:D4.已知函数f(x)的导函数f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln x,则f(1)=()A.-eB.-1C.1D.e解析:f(x)=2xf(1)+ln x,f(x)=2xf(1)+(ln x)=2f(1)+,f(1)=2f(1)+1,即f(1)=-1.答案:B5.函数f(x)=excos x的图像在点(3,f(3)处的切线的倾斜角为()A.B.0C.钝角D.锐角解析:f(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)=excos,f(3)=e3cos,又cos0,f(3)0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则loa=.解析:求导得f(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=3a-2a=3,解得a=,loa=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=xm+ax的导函数为f(x)=2x+1,求数列(nN+)的前n项和Sn.解f(x)=mxm-1+a=2x+1,m=2,a=1,f(x)=x2+x,Sn=1-+=1-.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.解f(x)=12x2+2ax+b,y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,f(1)=-12,f(1)=-12,解得a=-3,b=-18,f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.导学号01844039(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,dR)满足f(0)=0,f(1)=0,且f(x)0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f(x)+h(x)0.解(1)f(x)=ax2-x+c,f(0)=0,f(1)=0,从而f(x)=ax2-x+-a.f(x)0在R上恒成立,解得a=,c=,d=0.(2)由(1)知,f(x)=x2-x+,h(x)=x2-bx+,不等式f(x)+h(x)0化为x2-x+x2-bx+0,即x2-x+0,(x-b),则所求不等式的解集为;若b=,则所求不等式的解集为;若b时,所求不等式的解集为;当b=时,所求不等式的解集为;当b0.设0x1,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1)处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:0x2;若x1,则x1x2.(1)解f(x)=-a,x(0,+),f(x)=-.切线l过点M(x1,f(x1),其中0x1,切线l的方程为y=-(x-x1)+-a,即y=-a.(2)证明(x2,0)是l与x轴的交点,-a=0,x2=x1(2-ax1).0x12-ax10,0x1(2-ax1)=a-a,当且仅当x1=时取等号,0x2.0x1,12-ax12.由知x2,且x2=x1(2-ax1),x1x2.22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得a=1,b=3,故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.f(x0)=1+,在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0),令x=0,得y=-,切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
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