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第三章3.1回归分析的基本思想及其初步应用A级基础巩固一、选择题1(2018深圳一模)其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度(如表).年份x014568芳香度y1.31.85.67.49.3由最小二乘法得到回归方程1.03x1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为(A)A6.1 B6.28C6.5 D6.8解析由表中数据：(014568)4，回归方程1.03x1.13，1.0341.135.26，(1.31.85.6？7.49.3)5.26，解得：？6.1故选A2由变量x与y相对应的一组数据(1，y1)、(5，y2)、(7，y3)、(13，y4)、(19，y5)得到的线性回归方程为2x45，则(D)A135 B90C67 D63解析(1571319)9，245，294563，故选D3观测两个相关变量，得到如下数据：x1234554321y0.923.13.95.154.12.92.10.9则两变量之间的线性回归方程为(B)A0.5x1 BxC2x0.3 Dx1解析因为0，0，根据回归直线方程必经过样本中心点(，)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B4一位母亲记录了儿子39岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为7.19x73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(C)A身高一定是145.83cm B身高在145.83cm以上C身高在145.83cm左右 D身高在145.83cm以下解析将x的值代入回归方程7.19x73.93时，得到的值是年龄为x时，身高的估计值，故选C5(2018西宁模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)(x5，y5)根据收集到的数据可知x20，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6x48，则yi(D)A60 B120C150 D300解析由题意，x20，回归直线方程为0.6x48，0.6204860则i605300故选D6设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是(D)Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析本题考查线性回归方程D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系二、填空题7下列五个命题，正确命题的序号为_任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究解析变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系例如，中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的8(2018兰州模拟)已知变量 x，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于 x 的线性回归方程为1.3x1，则m_3.1_.x1234y0.11.8m4解析由题意，2.5，代入线性回归方程为1.3x1，可得2.25，0.11.8m442.25，m3.1故答案为3.19以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：年平均气温()12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mm)542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温_不具有_相关关系(填“具有”或“不具有”)解析画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系三、解答题10为了迎接2018年俄罗斯世界杯，某协会组织了一次“迎2018世界杯，手工制作助威旗”活动，将俄罗斯世界杯的标志以手工刺绣的方式刺绣到红色的三角形的旗子上面，来为世界杯加油在10次制作中测得的数据如下：助威旗数x(个)102030405060708090100加工时间Y(小时)626875818995102108115122试问：(1)x与Y是否具有线性相关关系？(2)如果x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程，并根据回归直线方程，预测加工2010个助威旗需多少天(精确到1)?注：每天工作8小时(参考数据：55，91.7，38500，87 777，iyi55950,38500105528250，91，61)解析(1)作散点图如图所示从图中可以看出，各点都散布在一条直线附近，即它们线性相关(2)由所给数据求得b0.668ab91.70.6685554.96Y对x的回归直线方程为54.960.668x当x2010时，54.960.66820101397.64(小时)又1397.648174.705(天)加工2010个助威旗所需时间约为175天B级素养提升1(2018保定一模)已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i1,2，8)，回归直线方程为xa，若(6,2)，(O为原点)，则a(B)A BC D解析计算(x1x2x8)，(y1y2y8)；回归直线方程为xa，a，解得a故选B2变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(C)Ar2r10 B0r2r1Cr20r1 Dr2r1解析变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，11.72，3，(xi)(yi)(1011.72)(13)(11.311.72)(23)(11.811.72)(33)(12.511.72)(43)(1311.72)(53)7.2，19.172，这组数据的相关系数是r10.3755，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，(1011.311.812.513)11.72，3，(Ui)(Vi)(1011.72)(53)(11.311.72)(43)(11.811.72)(33)(12.511.72)(23)(1311.72)(13)7.2，19.172这组数据的相关系数是r20.3755，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C二、填空题3(2018张店区校级模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，6)都在曲线ybx21附近波动经计算i11，i13，21，则实数b的值为_解析根据题意，把对应点的坐标代入曲线ybx21，y1bx1，y2bx1，y6bx1，y1y2y6b(xxx)6，13b216，b，故答案为4某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x()之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均气温x()381217旬销售量y(件)55m3324由表中数据算出线性回归方程bxa中的b2，样本中心点为(10,38)(1)表中数据m_40_；(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为_14件_解析(1)由38，得m40(2)由ab得a58，故2x58，当x22时，14，故三月中旬的销售量约为14件三、解答题5以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格解析(1)数据对应的散点图如下图所示：(2)xi109，lxx (xi)21570，23.2，lxy (xi)(yi)308设所求回归直线方程为x，则0.1962，1.8166故所求回归直线方程为0.1962x1.8166(3)据(2)，当x150m2时，销售价格的估计值为0.19621501.816631.2466(万元)6(2018全国卷理，18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，17)建立模型：30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，7)建立模型：9917.5t(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解析(1)利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元)利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)C级能力拔高炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示：x/0.01%104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？解析(1)x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图从图中可以看出，各点分布在一条直线附近，所以它们线性相关(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10 40036 00039 90032 74522 78518 09025 50039 15547 94015 125159.8，172，265 448，312 350，iyi287 640设所求的回归直线方程为x，1.267，30.47，即所求的回归直线方程为1.267x30.47(3)当x160时，1.26716030.47172(min)，即大约冶炼172 min
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