高等数学11-1常数项级数的概念和性质.ppt

1 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 第十一章 2 常数项级数的概念和性质 一 常数项级数的概念 二 无穷级数的基本性质 三 级数收敛的必要条件 第一节 3 一 常数项级数的概念 引例1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 边形 这个和逼近于圆的面积A 设a0表示 即 内接正三角形面积 ak表示边数 增加时增加的面积 则圆内接正 4 定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 级数的前n项和 称为级数的部分和 次相加 简记为 一般项 5 部分和数列 级数的部分和 当n 1 2 3 时 又形成一个新的数列 6 当级数收敛时 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 显然 收敛 并称S为级数的和 记作 则称无穷级数 7 无穷级数收敛性举例 Koch雪花 做法 先给定一个正三角形 然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1 3的小正三角形 如此类推在每条凸边上都做类似的操作 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 Koch雪花 8 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 播放 9 例1 讨论等比级数 又称几何级数 q称为公比 的敛散性 解 1 若 从而 因此级数收敛 从而 则部分和 因此级数发散 其和为 10 2 若 因此级数发散 因此 n为奇数 n为偶数 从而 综合1 2 可知 则 级数成为 不存在 因此级数发散 11 例2 判别下列级数的敛散性 解 1 所以级数 1 发散 技巧 利用 拆项相消 求和 12 2 所以级数 2 收敛 其和为1 技巧 利用 拆项相消 求和 13 例3 对级数做如下推导 设 于是 所以s 1 判断上述结论是否正确 说明理由 14 例4 判别级数 的敛散性 解 故原级数收敛 其和为 15 二 无穷级数的基本性质 性质1 若级数 收敛于S 则各项 乘以常数c所得级数 也收敛 证 令 则 这说明 收敛 其和为cS 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 即 其和为cS 16 性质2 设有两个收敛级数 则级数 也收敛 其和为 证 令 则 这说明级数 也收敛 其和为 17 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 例如 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或减 用反证法可证 练习判别级数 的敛散性 7 2 18 性质3 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级数 的敛散性 证 将级数 的前k项去掉 的部分和为 数敛散性相同 当级数收敛时 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 极限状况相同 故新旧两级 所得新级数 19 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 证 设收敛级数 若按某一规律加括弧 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 因此必有 用反证法可证 例如 20 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 收敛 发散 发散的级数加括号可能收敛 故不能用加括号的方法判别原级数收敛 但可以用加括号的方法判别原级数发散 给了一个级数后 要判断收敛还是发散 可以按照级数的特点加括号 但是想的是希望它是发散的 若加括号以后收敛了 那么什么结论都得不到 21 例5 判断级数的敛散性 解 考虑加括号后的级数 发散 从而原级数发散 22 三 级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证 可见 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 例如 其一般项为 不趋于0 因此这个级数发散 23 注意 并非级数收敛的充分条件 例如 调和级数 虽然 但此级数发散 讨论1事实上 假设调和级数收敛于S 则 但 矛盾 所以假设不真 24 讨论2 在区间 n n 1 上对函数lnx使用拉格朗日中值定理 25 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论 调和级数发散 讨论3 26 例6 判断下列级数的敛散性 若收敛求其和 解 1 令 则 故 从而 这说明级数 1 发散 27 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 其和为 2 28 这说明原级数收敛 其和为3 3 29 作业P1921 1 3 3 2 4 1 3 5 30 思考题 31 思考题解答 能 由柯西审敛原理即知 32 练习题 33 34 练习题答案 35 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 36 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 37 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 38 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 39 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 40 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 41