资源描述
七极坐标与参数方程(B)1.(2018顺德区一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),曲线C1经过坐标变换x=2x,y=y后得到的轨迹为曲线C2.(1)求C2的极坐标方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线=6与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.2.(2018日照二模)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y-2=0.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线:cos2=-2cos .(1)求曲线的直角坐标方程;(2)若点P的坐标为(-2,-4),直线l和曲线相交于M,N两点,证明:|MN|2=|PM|PN|.3.(2018六安高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为x=a+22t,y=1+22t(t为参数,aR),以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos 2+ 4cos -=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a 的值.4.(2018思明区校级模拟)在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为=2,正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0).(1)求点B,C的直角坐标;(2)设P是圆C2:x2+(y+3)2=1上的任意一点,求|PB|2+|PC|2的取值 范围.1.解:(1)曲线C1的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),转化为直角坐标方程为x2+y2=1,曲线C1经过坐标变换x=2x,y=y后得到的轨迹为曲线C2.即x24+y2=1,故C2的直角坐标方程为x24+y2=1.转化为极坐标方程为2cos24+2sin2=1.(2)曲线C1的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),转化为极坐标方程为1=1,由题意得到A(1,6),将B(2,6)代入坐标方程2cos24+2sin2=1.得到2=477,则|AB|=|1-2|=477-1.2.(1)解:因为:cos2=-2cos ,所以-cos2=2cos ,所以sin2=2cos ,所以曲线的直角坐标方程为y2=2x.(2)证明:因为直线l的方程为x-y-2=0,所以定点P(-2,-4)在直线l上,所以直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数).将曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程联立,得t2-102t+40=0(*)因为=(-102)2-4140=400,所以直线l和曲线相交,设交点M,N所对应参数分别为t1,t2,t1+t2=102,t1t2=40,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,故|MN|2=|t1-t2|2=t12+t22-2t1t2=(t1+t2)2-4t1t2=(102)2-4140=40,又|PM|PN|=|t1|t2|=|t1t2|=40,所以|MN|2=|PM|PN|.3.解:(1)C1的参数方程x=a+22t,y=1+22t(t为参数,aR)消参得普通方程为x-y-a+1=0,C2的极坐标方程为cos2+4cos -=0两边同乘得2cos2+4cos - 2=0即y2=4x.(2)将曲线C1的参数方程x=a+22t,y=1+22t(t为参数,aR)代入曲线C2:y2=4x得12t2-2t+1-4a=0,由=(-2)2-412(1-4a)0,得a0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时,t1=2t2,t1+t2=22,t1t2=2(1-4a),解得a=136,当t1=-2t2时,t1=-2t2,t1+t2=22,t1t2=2(1-4a),解得a=94,综上,a=136或94.4.解:(1)因为曲线C1的极坐标方程为=2,所以曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4,因为正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0),所以B点的坐标为(2cos 120,2sin 120),即B(-1,3),C点的坐标为(2cos 240,2sin 240),即C(-1,-3).(2)因为圆C2:x2+(y+3)2=1,所以圆C2的参数方程x=cos,y=-3+sin,02,设点P(cos ,-3+sin ),02,所以|PB|2+|PC|2=(cos +1)2+(sin -23)2+(cos +1)2+sin2=16+4cos -43sin =16+8cos(+3),所以|PB|2+|PC|2的取值范围是8,24.
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