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第二章 推理与证明章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程()A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D以上答案都不对考点演绎推理的含义与方法题点演绎答案C解析根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理2下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立因为f(x)x3在(1,1)内可导且单调递增，所以在(1,1)内，f(x)3x20恒成立以上推理中()A大前提错误 B小前提错误C结论正确 D推理形式错误考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案A解析f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立，故大前提错误，故选A.3设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数以上说法中正确的个数为()A0 B1C2 D3考点反证法及应用题点反证法的应用答案B解析可用反证法推出不正确，因此正确4在等差数列an中，若an0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是()Ab4b8b5b7 Bb5b7b4b8Cb4b7b5b8 Db4b5b7b8考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案A5已知2，2，2，2，依照以上各式的规律可得()A.2B.2C.2D.2考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案A解析从各个等式可以看出，等式的右端均为2，左端为两个式子的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母为相应分子减去4，所以可得2.6设an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn也是等差数列，类比上述性质，设sn，tn是等比数列，则下列说法正确的是()A若rnsntn，则rn是等比数列B若rnsntn，则rn是等比数列C若rnsntn，则rn是等比数列D以上说法均不正确考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘故由“an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn是等差数列”，类比推理可得：“设sn，tn是等比数列，若rnsntn，则rn是等比数列”故选B.7分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证0 Bac0 D(ab)(ac)0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案C解析要证明a，只需证b2ac3a2，只需证(ac)2ac3a2，只需证2a2acc20，即证(ac)(2ac)0，即证(ac)(ab)0.8某同学在纸上画出如下若干个三角形：若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中的个数是()A62 B63C64 D61考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案A解析前n个中所包含的所有三角形的个数是123nn，由2 015，解得n62.9已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案A解析令n1,2,3，得所以a，bc.10用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案D解析应对结论进行否定，则不是无理数，即是有理数11我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个 B3个 C2个 D1个考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析类比相似形中的对应边成比例知，一定属于相似体12设函数f(x)定义如下表，数列xn满足x05，且对任意的自然数均有xn1f(xn)，则x2 016等于()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用答案D解析x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，x6f(2)1，x7f(1)4，x8f(4)5，x9f(5)2，所以数列xn是周期为4的数列，所以x2 016x45，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13用数学归纳法证明“123n2”时，从nk到nk1，等式左端需要增加的代数式为_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，等式的左端为123k2，当nk1时，等式的左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.14已知a0，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案mn解析ab00ab2ab()2()2lglg.15古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个分数和的形式，例如.可以这样来理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，每人分将剩余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得.同理可得，按此规律，则_，_(n5,7,9,11，)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案解析由，得，当n5,7,9时，等号右边第一个分数的分母分别为3,4,5，第二个分数的分母分别是等号左边分数的分母与等号右边第一个分数分母的乘积16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案解析解法的类比(特殊化)，可得两个正方体重叠部分的体积为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)1，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由考点反证法及应用题点反证法的应用解假设1，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1md,2nd，m，n为两个正整数，消去d得m(1)n.m为有理数，(1)n为无理数左边为有理数，右边为无理数，m(1)n不成立，矛盾假设不成立，即1，2不可能为同一等差数列中的三项18(12分)已知a0，b0,2cab，求证：cac.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，只需证(ac)2()2，只需证a22acc2a2ab，因为a0，所以只需证2cab.因为2cab已知，所以原不等式成立19(12分)已知A，B都是锐角，且AB90，(1tan A)(1tan B)2.求证：AB45.考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题证明因为(1tan A)(1tan B)2，展开化简为tan Atan B1tan Atan B.因为AB90，tan(AB)1，又因为A，B都是锐角，所以0AB180，所以AB45.20(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：2；2；2.(1)已知(1.41,1.42)，(1.73,1.74)，(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；(2)请将此规律推广至一般情形，并证明考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)的应用解(1)验证式成立：1.74，1.41，22.82，2.(2)一般结论为：若nN*，则2，证明如下：要证2，只需证()2(2)2，即证2n224n4，即证n1，只需证n(n2)n22n1，即证01，显然成立故2.21(12分)在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.则有1.证明：，同理有，又VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，1.22(12分)已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4.(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)f(1)log162，f(2)1，解得a1，b0，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x21f(1)1f(2)，x3(1f(3)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1，而，猜想成立假设当nk(k1，kN*)时，xn成立，即xk，则当nk1时，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).当nk1时，猜想也成立，根据可知，对一切nN*，猜想xn都成立
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