2019-2020年人教A版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系复习小结 教案.doc

2019-2020年人教A版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系复习小结 教案考情分析本节内容在高考中主要考查对极坐标概念的理解，点的极坐标和直角坐标的区别和相互转化，考查直线和圆极坐标方程的理解和应用，并且熟练进行转化。基础知识 1.平面直角坐标系下的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系在平面内取一个定点O，由O点引一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的正方向 (通常取逆时针方)，合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对（称为点M的极坐标，称为极径，称为极角3极坐标与直角坐标的转化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：顺便指出，上式对0也成立这就是极坐标与直角坐标的互化公式4、空间直角坐标与柱坐标的变换公式是 空间直角坐标与球坐标的变换公式是 题型一极坐标和直角坐标的互化【例1】设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为_解析点A的极坐标为，点A的平面直角坐标为(，1)，又直线l过点A且与极轴所成的角为，直线l的方程为y1(x)tan ，即xy20，直线l的极坐标方程为cos sin 20，可整理为cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1.【变式1】在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是_解析由极坐标与直角坐标的互化公式cos x，sin y可得，cos 1, sin ，解得2，2k(kZ)，故点P的极坐标为(kZ)答案(kZ)题型二圆的极坐标方程的应用【例2】在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，则|AB|_.解析注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x1，曲线4cos 的直角坐标方程是x2y24x，即(x2)2y24，圆心(2,0)到直线x1的距离等于1，因此|AB|22.答案2【变式2】在极坐标系中，P，Q是曲线C：4sin 上任意两点，则线段PQ长度的最大值为_解析由曲线C：4sin ，得24sin ，x2y24y0，x2(y2)24，即曲线C：4sin 在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.答案4题型三极坐标方程的综合应用【例3】如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹解设M(，)是所求轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆【变式3】 从极点O作直线与另一直线cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12，求点P的轨迹方程解设动点P的坐标为(，)，则M(0，)|OM|OP|12.012.0.又M在直线cos 4上，cos 4，3cos .这就是点P的轨迹方程重难点突破【例4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1，C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合()分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；()设当时，l与C1，C2的交点分别为A1， B1，当时，l与C1， C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解：()C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.()C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x.当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为.巩固提高1在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值解：cos2化简为cossin4，则直线l的直角坐标方程为xy4.设点P的坐标为(2cos， sin)，得P到直线l的距离d，即d，其中cos，sin.当sin()1时，dmax2.2在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的参数方程为(为参数)，曲线D为极坐标方程为sin().(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由解：(1)由已知得消去参数，得曲线C的普通方程为x2，x1,1(2)由sin()得曲线D的直角坐标方程为xy30，由消去y，得2x2x30，解得x(舍去)或x1.当x1时，y2.故曲线C与曲线D只有一个交点3在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为(为参数，R.)试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小解：直线l的普通方程为x2y40，设P(2cos，sin)，点P到直线l的距离为d，所以当sin()1时，d有最小值此时sinsinsincos cossin，coscoscoscos sinsin，所以点P的坐标为.从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为.4经过点M(，0)作直线l，交曲线C：(为参数)于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程解：根据题意，设直线l的参数方程为(t为参数)曲线C化成普通方程得x2y24.将(tcos)2t2sin24.化简整理得t22cost60，t1t22cos，t1t26.由题意得|AB|2|MA|MB|，而|AB|2(t1t2)2(t1t2)24t1t2，|MA|MB|t1t2|6，即40cos2246，解得cos，sin，ktan.所求直线l的方程为yx或yx.5在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解析：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos，sin)，从而点Q到直经l的距离为dcos2.由此得，当cos1时，d取得最小值，且最小值为.