资源描述
1 函数的单调性与极值11导数与函数的单调性函数f(x)x22x2的图像如图所示：问题1：当x0(，1)时，函数在(x0，f(x0)处的切线斜率f(x0)大于零还是小于零？提示：小于零问题2：函数f(x)x22x2在(，1)上单调性如何？提示：是减少的问题3：当x0(1，)时，函数在(x0，f(x0)处的切线斜率f(x0)大于零还是小于零？提示：大于零问题4：f(x)x22x2在(1，)上单调性如何？提示：是增加的函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号关系导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f(x)0是增加的f(x)0是减少的1求函数的单调区间先求函数的定义域，再求导数f(x)，令f(x)0，得单调增区间，令f(x)0(f(x)0. 求函数的单调区间例1求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.思路点拔根据求可导函数单调区间的基本步骤求解精解详析(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x，又x(0，)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x).因为x(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)由f(x)x33x2。得f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0，解得0x2，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；由f(x)0，解得x2或x0，因此，函数在区间(，0)和(2，)上是单调递减的故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(，0)和(2，)一点通1求函数单调区间的步骤：2含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论1下列函数中在区间(1,1)上单调递减的是()Ay23x2Byln xCyx33x Dysin x解析：显然，函数y23x2在区间(1,1)上是不单调的；函数yln x的定义域为(0，)，不满足题目要求；函数ysin x在(，)上单调递增，所以函数ysin x在区间(1,1)上也单调递增；对于函数yx33x，y3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，y0，所以函数yx33x在区间(1,1)上单调递减答案：C2若f(x)x22x4ln x，则函数的单调递增区间为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：由已知得函数的定义域为(0，)，f(x)2x2，由f(x) 0可得x2x20，得x2.答案：C3求下列函数的单调区间，指出其单调性(1)y2xcos x；(2)yx3x.解：(1)由题意得y2sin x，1sin x1，y0，得x；令y3x210，得x.yx3x有三个单调区间，其中在和上分别是增加的，在上是减少的由函数的单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)x3ax6.(1)若函数f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值和函数的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，)上是增加的，求a的取值范围思路点拨(1)函数f(x)的单调递减区间为(1,1)，即f(x)0的解集为(1,1)(2)函数f(x)在(1，)单调递增，则f(x)0在(1，)上恒成立精解详析(1)由题意得f(x)3x2a.函数f(x)的一个单调递减区间为(1,1)3x2a0，则x1或xg(1)3.a3.当a3时，f(x)3(x21)，此时函数f(x)在(1，)上增加，a的取值范围是(，3一点通已知函数yf(x)，xa，b的单调性，求参数的取值范围的步骤：(1)求导数yf(x)；(2)转化为f(x)0或f(x)0在xa，b上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立4若函数f(x)mx在区间上单调递增，则m的取值范围为()A.B.C2，) D2，)解析：由题意f(x)m 0在上恒成立，即m 在上恒成立，令g(x)，g(x)x，在x上g(x)0，所以g(x)maxg(1)，故m.答案：A5若函数f(x)ax3x2x8在(，)上增加，求a的取值范围解：当a0时，f(x)x2x8(x)2，不满足条件a0.当a0时，f(x)3ax22x1.f(x)在(，)上增加，f(x)0，即3ax22x10在R上恒成立，即即解得a.a的取值范围为.用函数单调性证明不等式例3求证：当x2时，x36x212x8.思路点拨通过函数f(x)x36x212x8的单调性，证明f(x)0.精解详析设f(x)x36x212x8，则f(x)3x212x123(x24x4)3(x2)2.x2时，f(x)0恒成立，f(x)在(，2上是增加的，x2时， f(x)f(2)0，即x36x212x80，即x36x212x8.一点通要证明不等式g(x)(x)(或g(x)(x)成立，可以构造函数f(x)g(x)(x)，然后再利用导数研究函数f(x)g(x)(x)的单调性，根据单调性获得f(x)0(或f(x)0)，从而证明了不等式g(x)(x)(或g(x)(x)6求证：sin xx，x(0，)证明：令f(x)sin xx，f(x)cos x1，x(0，)，cos x(1,1)，f(x)cos x10，f(x)在(0，)上是减少的，f(x)f(0)0，即sin xx0，sin xx.7设f(x)ln x1，证明：当x1时，f(x)(x1)证明：记g(x)ln x1(x1)，则当x1时，g(x)0，即g(x)在(1，)上单调递减又g(1)0，故g(x)0，即f(x)(x1)1函数的单调性相同的单调区间不只一个时，在写结论时，要用“，”或“和”隔开，不能用“”连接2利用分离参数求解恒成立问题，不要忘了验证等号是否成立 1在下列命题中，正确的是()A若f(x)在(a，b)内是增加的，则对任意x(a，b)都有f(x)0B若在(a，b)内对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)内是增加的C若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f(x)也为单调函数D若可导函数在(a，b)内有f(x)0，则在(a，b)内有f(x)0解析：由函数的单调性与导数间的关系可知选项B正确答案：B2y8x2ln x在和上分别是()A增加的，增加的B增加的，减少的C减少的，增加的 D减少的，减少的解析：y16x，当x时，y0，函数在上是增加的答案：C3已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2)解析：函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)0，f(x)在(0，)上为增加的，f(2)f(e)f(3)答案：A4.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图像如右图所示，则yf(x)的图像最有可能是()解析：由yf(x)的图像可知，当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0，函数yf(x)在(，0)和(2，)上为增加的，在(0,2)上为减少的答案：C5函数f(x)(3x2)ex的单调递增区间是_解析：f(x)(3x2)ex，f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex.令f(x)0，则x22x30，解得3 x1.函数f(x)的单调递增区间是(3,1)答案：(3,1)6若函数f(x)x3ax8的单调减区间为(5,5)，则a的值为_解析：f(x)3x2a，f(x)0的解为5x5，352a0，a75.答案：757已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增加的，求t的取值范围解：由题意得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增加的，则在(1,1)上f(x)0恒成立即t3x22x在区间(1,1)上恒成立考虑函数g(x)3x22x3(x)2，x(1,1)显然g(x)0，即f(x)在(1,1)上是增加的故t的取值范围是5，)8已知函数f(x)x33ax1，a0，求f(x)的单调区间解：f(x)3x23a3(x2a)，当a0时，对任意xR，都有f(x)0，即a0时，f(x)的单调递增区间为(，)当a 0时，f(x)0时，解得x或x，所以f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，f(x)0时，解得x，所以f(x)的单调递减区间为(，)即a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，(，)；f(x)的单调递减区间为(，)12函数的极值 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点如图为某同学绘制的庐山主峰剖面图问题1：若把该图视为某函数的图像，图中共有多少个相对于附近的“最高”点？提示：5个问题2：这些“最高”点的左右两侧函数的单调性如何？提示：左侧增，右侧减问题3：图中共有多少个相对于附近的“最低点”？提示：4个问题4：这些“最低”点的左右两侧函数的单调性如何？提示：左侧减，右侧增1函数极值的有关定义(1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2函数极值的判定(1)单调性判别：如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值(2)图表判别：极大值的判定.x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加极大值减少极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)减少极小值增加(3)图像判别：极大值极小值1函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况2由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点3在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点，极大值不一定大于极小值 求函数的极值例1求下列函数的极值(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).思路点拨首先从方程f(x)0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的判断方法判断在这些点处是否取得极值精解详析(1)f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增加极大值减少极小值增加因此，当x1时函数取得极大值，且极大值为f(1)10；当x3时函数取得极小值，且极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)增加极大值减少故当xe时函数取得极大值，且极大值为f(e).一点通求函数yf(x)的极值点的步骤：(1)求出导数f(x)(2)解方程f(x)0.(3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点1.已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A2acB4acC3a Dc解析：由导函数f(x)的图像知当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.又f(x)3ax22bx，所以b3a，f(x)ax33ax2c，所以函数f(x)的极大值为f(2)4ac.答案：B2求函数yx44x35的极值解：y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值极小值故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.已知极值求参数例2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由思路点拨x1与x2是函数f(x)的两个极值点，则1,2即为f(x)0的两个根，由此可得a，b的方程组，解方程组即可求解，然后再判断x1，x2为极大值点还是极小值点精解详析(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由题意可知f(1)f(2)0，a2b10且4b10.解方程组得a，b.f(x)ln xx2x.(2)x1，x2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点理由如下：f(x)x1x1x1.又f(x)的定义域为(0，)，当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)1时，f(x)0，当3x1时，f(x)1或x0；当1x1时，g(x)或a时，图像有1个交点；当a或a时，图像有2个交点；当a或a时，函数有1个零点；当a或a时，函数有2个零点；当a0)的图像与x轴恰有一个交点，求a的值解：f(x).令f(x)0，得x1.当x1时，f(x)0；当xx1时，f(x)0，函数f(x)a在x1处取极小值f(1)ea.函数f(x)a与x轴恰有一个交点，f(1)0.ae.7讨论三次方程x39xa0的解的个数，其中a为常数解：设方程对应的函数为f(x)x39xa，则f(x)3x29，令f(x)0，则x，即函数f(x)有两个极值点为x1，x2.f()6a，f()6a.(1)若f()f()0，对应方程有三个解，解得6a6；(2)若f()f()0，对应方程有两个解，解得a6或a6；(3)若f()f()0，对应方程有一个解，解得a6或a6；综上可知：当6a6时，方程有三个解；当a6或a6时，方程有两个解；当a6或a6时，方程有一个解1对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为零2极值点一定是某一区间内的点，而不能是区间的端点3函数在其单调区间内无极值 1已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数yf(x)在(a，b)上极大值点的个数为()A4B3C2 D1解析：极大值点在导函数f(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图像可知这样的极值点共有3个答案：B2若函数f(x)x2x在x0处有极小值，则x0等于()A. BCln 2 Dln 2解析：f(x)2xx2xln 2，令f(x)0，得x.当x时f(x)时，f(x)0，当x时，函数f(x)取极小值答案：B3函数f(x)13xx3()A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：f(x)3x23，由f(x)0得x1.当x(1,1)时f(x)0，f(x)的单调递增区间为(1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(，1)和(1，)当x1时，函数有极小值1，当x1时，函数有极大值3.答案：D4三次函数当x1时有极大值4，当x3时有极小值0，则此函数的解析式是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x解析：设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc，由题意得f(1)f(3)0，f(1)4，f(3)0，即解得：a1，b6，c9，d0.答案：B5函数yx3x2x1在x_处取极大值解析：y3x22x1(3x1)(x1)当1x时，y或x0.函数在x1处取极大值答案：16函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_解析：f(x)a，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上是减少的，故f(x)在(0，)上没有极值点答案：07已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.8设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)f(x)aln xx1，f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减少的；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增加的故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.
展开阅读全文