河南省信阳市第一高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理.doc

河南省信阳市第一高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理说明：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟2将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 a 0,1 b 2, 则下列不等式成立的是（）A a ab ab 2aC ab a 2aD a 2a ab2抛物线 C : y = x2 的准线方程为（）A x =1B x = - 1C y = 1D y = -144443已知数列a满足 an+1=4an + 3（ n N* ），且 a= 1，则 a21=（）n41A13B14C15D164下列说法正确的是（）A命题“若 x2= 1 ，则 x = 1 ”的否命题为“若 x2= 1 ，则 x 1 ”B命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题是真命题C命题“ $x R ，使得 x2 + x +1 = 0 ” 的否定是“ x R ，均有 x2 + x +1 0D“ x = -1 ”是“ x2 - 5x - 6 = 0 ”的必要不充分条件5已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上，焦距为 4，离心率为2，则椭圆 C 的标准方程是（）2x2y 2x2y 2x2y 2x2y 2A+= 1B+= 1C+= 1D.+= 1481216161284高二理科数学第 1页 （共 4 页）6已知数列a满足 an+1=1（ n N* ）， a= 2 ，则 a= （）n1 - an81A5B8C7D. 1911927在 DABC 中， A = 60 , b = 1, SDABC =则c3,=（）sin C8B 2623339D 2AC781338若关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + 2b = 0 有两个实根，一个根在区间 (0,1)内，另一个根在区间 (1,2)内，则b - 3的取值范围为（）a -1A 1,3B (1,3)1313C ，D. 2，2229设数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn = 2an - 3n （ n N* ），则 a2018 = （）A 22018-1B 32018- 61 2018-7 1 2018-10C 2D 32 3 10若两个正实数 x, y 满足 1 +4= 1，且不等式 x +y 0)的焦点，曲线 C是以 F 为圆心，p为半径的圆，212直线 4x - 3 y - 2 p = 0 与曲线 C, C从上到下依次相交于 A ， B ， C ， D ，则AB=12CDA 4B16C 5D 83312设 a = log0.2 0.3 ， b = log20.3 ，则（）Aab a + b 0Ba + b ab 0Cab 0 a + bDa + b 0 0, b 0)的右焦点为 F ，过点 F 向双曲线的一条渐a2b2近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于点 N ，若 7FM = 3FN ，则双曲线的离心率为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）已知条件 p : x2 - 4ax + 3a2 0 若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围18（本小题满分 12 分）在DABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且2 cos C(a cos C + c cos A)+ b = 0 （I）求角 C 的值；（II）若 b = 2 ， c = 23 ，求 DABC 的面积19（本小题满分 12 分）已知数列an 满足 a1 = 1，且 2nan+1 - 2(n +1)an = n(n +1)（ n N* ）（I）求数列an 的通项公式；（II）若 bn = 2n an ，求数列bn 的前 n 项和 Sn n +1高二理科数学第 3页 （共 4 页）20（本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物需建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C ( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x ( 单位： cm ) 满足关系：C(x)=k(0 x 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f (x)为隔3x + 5热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和（I）求 k 的值及 f (x)的表达式；（II）隔热层修建多厚时，总费用 f (x)达到最小，并求最小值21（本小题满分 12 分）已知数列an 满足1+2+3+ +n=3 (32n -1)，（ n N* ）aaaa2n813（I）求数列an 的通项公式；（II）若 bn = log3 an，求证：1+1+1+ +11 b bb bnb bb b21 22 33 4n n+122（本小题满分 12 分）已知圆 (x + 3 )2 + y 2 = 16 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N (3,0)，点 G在线段 MP 上，且满足 (GN + GP) (GN - GP)（I）求动点 G 的轨迹 C 的方程；（II）过点 T (4,0)作斜率不为 0 的直线与轨迹 C 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求 DABQ 面积的最大值高二理科数学第 4页 （共 4 页）20182019 学年上期中考20 届高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号123456789101112答案BDDBADCDACBA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）313 -114315 4 161442三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17【解析】解：设 x2 - 4ax + 3a2 0(a 0)的解集为 A ,由(x - a)(x - 3a) 0 时， A = (a,3a)；当 a 0 的解集为 B ,则 B = (- ,-4) (2,+)5 分由 p 是 q 的必要不充分条件可得 p 是 q 的充分不必要条件，即 A 是 B 的真子集a 2 或 a -4 10 分18【 解析】（ I ）由正弦定理可得 2 cos C(sin A cos C + sin C cos A)+ sin B = 0 ，2 cos C sin(A + C )+ sin B = 0 ,即 2 cos C sin B + sin B = 0 ,又 0 B p , sin B 0cos C = - 12 ， 0 C 0,a = 2. SDABC = 12 ab sin C = 3 , DABC 的面积为 3 12 分高二数学试题第 1页（共 5 页）19 【解析】（I）由已知可得 nan+11 - ann = 12 ，a是以 1为首项，公差为1的等差数列数列 n2 n an = n +1,an = n(n +1). 6 分n22（II） bn =2n a= n 2n-1nn +1.Sn = 1 20 + 2 21 + 3 22 + n 2n-12Sn = 1 21 + 2 22 + 3 23 +n 2n两式相减可得 - Sn = (1 - n)2n -1，Sn = (n -1)2n +1. 12 分20【解析】：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为 C(x)k，3x5由 C(0)8，得 k40，C(x)3x405.而隔热层建造费用为 C1(x)6x， f (x)20C(x)C1(x)20 40 6x 800 6x(0x10)6 分3x5 3x5(2) f (x) 800 6x 3x5 1 600 6x1010 6x1021 600（6x10）1070，6x10当且仅当 1 600 6x10，即 x5 时取等号6x10当隔热层修建厚度为 5 cm 时，总费用最小，最小值为 70 万元12 分高二数学试题第 2页（共 5 页）21【解析】（I） 1 = 3 (32 a1 8n12当n 2时，+ aan= a21-1)=+3,n12n -1a+ a+ +a- a2n-1n 1= 83 (32n -1)- 83 (32n-2 -1)= 32n-1. an = 32nn-1 (n 2). 当 n = 1 时， a1 = 13 也成立，an = 32nn-1 . 6 分（II） bn = log3 ann = -(2n -1),1=1=1-1,b b(2n -1)(2n +1)2n -12n +1nn+11+1+ +1b bb bb b1223nn+111 -1 11 11=+ - + -2332n -12n +1 5 =11 -122n +1 n 111121 -2.2n +1 1+1+1+ +1 23 = MN ,所以点 G 在以 M , N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上设椭圆的方程为 x2 + y 2 = 1(a b 0), a2 b2则 2a = 4,2c = 23, 即 a = 2, c = 3,b2 = a2 - c2 = 1,高二数学试题第 3页（共 5 页）所以点 G 的轨迹 C 的方程为x2+ y 2= 1 4 分4 x = my + 4,（II）解法一：依题意可设直线 l : x = my + 4.2由 x2+ y= 1,4得 (m2 + 4)y 2 + 8my +12 = 0.设直线与 l 椭圆 C 的两交点分别为 A(x1 , y1 )B(x2 , y2 )，由 D = 16(m2 -12) 0 ，得 m2 12 ，且 y + y= -8m, y y=12. m2 + 4m2 + 4121 2因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D(x1 - y1 ),可设 Q(x0 ,0)，所以 kBD =y2 + y1=y2 + y1，m(y2 - y1 )x2 - x1所以 BD 的直线方程为 y - y2=y1 + y2(x - my2 - 4).m(y1 - y2)令 y = 0, 得 x0 = 2my1 y2 + 4(y1 + y2 ). y1 + y2将带入得 x0 = 24m - 32m = 1,- 8m所以点 Q 的坐标为 (1,0).136m2 -12因为 S=S- S=QTy- y=(y + y2-4 y y=,DABQDTBQDTAQ)22212121m2 + 4令 t = m2 + 4, 结合得 t 16,所以 SDABQ1121= 6-16-+，64 t32 当且仅当 t = 32 ，即 m = 27 时， (SDABQ )max = 34 .所以 SDABQ 面积的最大值为 34 .12 分高二数学试题第 4页（共 5 页）解法二：依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设其直线方程为 l : y = k (x - 4)，y = k (x - 4),(4k 2 +1)y 2+ 8ky +12k 2 = 0由 x2+ y2= 1,得4设直线与 l 椭圆 C 的两交点分别为 A(x1 , y1 )B(x2 , y2 )，由 D = (8k )2 - 4 (4k 2 +1)12k 2 0 ，得 k 2 1，12且 y + y2= -8k,y y=12k 2. 14k 2 +1124k 2 +1因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D(x1 - y1 ),可设 Q(x0 ,0)，所以 kBD =y2 + y1= ky2 + y1，(y2 - y1)x2 - x1所以 BD 的直线方程为 y - y2 = ky1 + y2(x - x2 ).(y1 - y2)令 y = 0, 得 x0 =2 y1 y2+ 4k (y1+ y2 ). (y1 + y2k)将带入得 x0=24k 2 - 32k 2= 1,- 8k 2所以点 Q 的坐标为 (1,0).136 k 2-12k 42因为 SDABQ=SDTBQ- SDTAQ=QTy- y=(y + y) - 4 y y2=,22121214k2 +1令 t = 4k 2 +1, 则 k 2t -14=，结合得1 t ,34所以 SDABQ1721= 3- 4-+，816 t当且仅当 t = 87 ，即 k = 147 时， (SDABQ )max = 34 .所以 SDABQ 面积的最大值为 34 .12 分