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第2讲解三角形1.(2018全国卷,理6)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB等于(A)(A)42(B)30(C)29(D)25解析:因为cos C2=55,所以cos C=2cos2 C2-1=2552-1=-35.在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=52+12-251-35=32,所以AB=32=42.故选A.2.(2018全国卷,理9)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若ABC的面积为a2+b2-c24,则C等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)6解析:因为S=12absin C=a2+b2-c24=2abcosC4=12abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1.因为C(0,),所以C=4.故选C.3.(2016全国卷,理8)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A等于(C)(A)31010(B)1010(C)-1010(D)-31010解析:如图,设ADBC交BC于D,因为B=4,所以AD=BD=12DC,所以cosBAC=cos(BAD+DAC)=cos4cosDAC-sin4sinDAC=2215-2225=-1010,选C.4.(2016全国卷,理13)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则 b=.解析:由题sin A=35,sin C=1213,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=35513+451213=6365.则由asinA=bsinB得b=asinBsinA=636535=2113.答案:21135.(2018全国卷,理17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.即5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.6.(2017全国卷,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin (A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解:(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.7.(2017全国卷,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解:(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23,在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos 23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin 612ACAD=1.又ABC的面积为1242sin BAC=23,所以ABD的面积为3.1.考查角度考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.(对应学生用书第2324页) 正余弦定理、三角形面积公式的应用考向1解一般三角形【例1】 (1)(2018山西一模)在ABC中,点D为边AB上一点,若BCCD,AC=32,AD=3,sinABC=33,则ABC的面积是()(A)922(B)1522(C)62(D)122(2)(2018大连模拟)如图,已知ABC中,点D在边BC上,AD为BAC的角平分线,且AB=1,AD=223,AC=2.求BDDC的值(说明理由);求ABC的面积.(1)解析:如图所示,ABC中,BCCD,AC=32,AD=3,sinABC=33,设CD=x,则BD=3x;由勾股定理得BC=2x.所以AB=3+3x,又sinABC=33,且CBA为锐角,所以cosABC=63,由余弦定理得63=2x2+(3x+3)2-1822x(3x+3),解得x=3,所以BC=32,AB=43;所以ABC的面积为SABC=12324333=62.故选C.(2)解:在ABD中,由正弦定理可得ABsinADB=BDsinBAD,在ACD中,由正弦定理可得ACsinADC=CDsinCAD,因为sinBAD=sinCAD,sinADB=sinADC,所以BDDC=ABAC=12.设BAD=,则SABD=121223sin =2sin3,SACD=122223sin =22sin3,SABC=1212sin 2=2sin cos ,所以2sin3+22sin3=2sin cos ,解得cos =22,故=4.所以SABC=sin 2=1.(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组,通过解方程或者方程组得出未知元素.(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理(其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理.考向2解实际应用问题【例2】 (1)(2018江西南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米B处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米C处,若cos =34cos ,则v等于()(A)60(B)80(C)100(D)125(2)(2018吉林大学附中四模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,ABC=105,BCA=45,则可以计算出A,B两点的距离为m.解析:(1)作图如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),(*)由正弦定理得150sin=200sin,sin =43sin .由sin2+cos2=1,解得sin =35,故cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入(*)式,解得v=100.故选C.(2)根据三角形内角和为180,所以BAC=30,由正弦定理ABsinC=BCsinA,即ABsin45=50sin30,解得AB=502(m).答案:(1)C(2)502把实际问题归入可解三角形中,再根据正弦定理、余弦定理得出需要的量,解题中准确画出图形是关键一步.考向3平面图形中的有关计算【例3】 (1)(2018湖北省高三5月冲刺)九章算术是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦矢+矢矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23,弦长为403 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为()(其中3,31.73)(A)15 m2(B)16 m2(C)17 m2(D)18 m2(2)(2018赣州一模)在ABC中,点D是AB中点,AB=2,ACD=90,DCB=45,ABC的面积为S.则5S=.解析:(1)因为圆心角为23,弦长为403 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40320+2020)=(4003+200)m2,实际面积等于扇形面积减去三角形面积为1223402-1220403=1 6003-4003m2,因此两者之差为1 6003-4003-(4003+200)16 m2.故选B.(2)ABC中,点D是AB中点,c=AB=2,ACD=90,DCB=45,a=BC,b=AC,设DC=x,则SACD=SBCD,即12bx=12axsin 45,所以b=22a,c2=a2+b2-2abcosACB,所以4=a2+12a2-2a22acos 135,a=85,所以b=25,所以ABC的面积为S=12absin 135=12852522=25,所以5S=2.答案:(1)B(2)2平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等,基本思想是找出平面图形中的可解三角形,通过解三角形计算出相关的元素,得出求解目标.热点训练:(1)(2018河南省高三最后一卷)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+2bsin A=csin C,a=2,b=22,则sin B=;(2)(2018山东潍坊青州三模)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=2,BC=3,ABAD,ACCD,AD=3AC,则AC=.解析:(1)因为asin A+bsin B+2bsin A=csin C,所以a2+b2+2ab=c2.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=-22,又0C0,a=32,则ABC周长的取值范围是()(A)2+32,3+32(B)3,3+32(C)1+32,2+32(D)1+32,3+32(2)(2018福建厦门二检)等边ABC的边长为1,点P在其外接圆劣弧AB上,则SPAB+SPBC的最大值为.解析:(1)因为A是B和C的等差中项,所以2A=B+C,所以A=3,又ABBC0,则cos(-B)0,从而B2,所以2B23,因为asinA=bsinB=csinC=32sin3=1,所以b=sin B,c=sin C=sin23-B,所以ABC的周长为l=a+b+c=32+sin B+sin23-B=3sinB+6+32,又2B23,23B+656,12sinB+632,所以3l3+32.故选B.(2)设PCA=,则PCB=3-,PBC=3+,外接圆半径为R,在ABC中,2R=1sin3=233,同理PA=233sin ,PB=233sin3-,PC=233sin3+,则SPAB+SPBC=34PB(PA+PC)=33sin3-sin +sin3+=3332cos -12sin 32sin +32cos =14sin 2+34cos 2=12sin2+3.当=12时,SPAB+SPBC的最大值为12.答案:(1)B(2)12根据正弦定理把三角形中的边使用一个角的三角函数表示出来,代入求解目标,把求解目标化为该角的三角函数式,利用三角恒等变换把求解目标化为可以使用三角函数性质得出其最值或者取值范围的形式,得出其最值或者取值范围.考向2三角形中的三角函数求值【例5】 (1)(2018天津市滨海新区八校联考)已知在ABC中,cosA-4=210,则sin 2A等于()(A)-2425(B)2425(C)725(D)-725(2)(2018天津市滨海新区八校联考)在ABC中,AB=5,AC=3,sin A=2sin C.求BC的长;求cos2C-3的值.(1)解析:因为cosA-4=210,所以cos A cos 4+sin A sin 4=210,即22(cos A+sin A)=210,所以cos A+sin A=15,两边平方,得1+sin 2A=125,所以sin 2A=-2425.故选A.(2)解:在ABC中,因为sin A=2sin C,所以BC=2AB=25.因为cos C=AC2+BC2-AB22ACBC=255,所以sin C=55,所以sin 2C=2sin Ccos C=45,cos 2C=cos2C-sin2C=35,cos2C-3=cos 2Ccos 3+sin 2Csin 3=3+4310.根据正、余弦定理求出三角形中一些角的三角函数,把求解目标使用求出的角表示出来,再利用三角恒等变换公式求出其值.考向3三角函数与解三角形的交汇【例6】 (2018商洛模拟)已知向量m=(2sin x,1),n=(3cos x,2cos2x),函数f(x)=mn.(1)求函数f(x)=mn在x0,2上的值域;(2)在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,已知a=1,b=3,f(A)=3,求角C.解:(1)因为向量m=(2sin x,1),n=(3cos x,2cos2x),函数f(x)=mn,所以f(x)=23sin xcos x+2cos2x=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+6+1,因为x0,2,所以2x+66,76.所以sin2x+6-12,1,可得f(x)=2sin2x+6+10,3.(2)f(A)=3,即为2sin2A+6+1=3,即sin2A+6=1,由于A(0,),则2A+66,136,可得2A+6=2,即A=6,由正弦定理得sin B=bsinAa=3121=32.由于ab,则A0,所以cosBAC=-12,又BAC(0,),所以BAC=23,在ABC中,c=2b=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=b2+c2+bc=7.所以a=7.(2)由AD=13AB+23AC,得AD2=13AB+23AC2=49+49+4921-12=49.所以|AD|=23.【例2】 (2018江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向63千米处.(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时CBP=45,求BP的距离;(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?解:(1)在ABP中,AB=6,A=60,APB=75,由正弦定理,ABsinAPB=BPsinA,即BP=6322+64=1236+2=123(6-2)4=33(6-2)=(92-36)千米,故BP的距离是(92-36)千米.(2)甲从C到A,需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)9.当0t1时,f(t)=(6t)2+(12-3t)2-26t(12-3t)cos60=37t2-16t+169,即7t2-16t+70,解得8-157t8+157,又t0,1,所以8-157t1,时长为15-17小时.当1t4时,f(t)=36+(12-3t)2-26(12-3t)cos60=3t2-6t+129,即t2-6t+30,解得3-6t3+6,又t(1,4,所以1t4,时长为3小时.3+15-17=15+207(小时).故两人通过对讲机能保持联系的总时长是15+207小时.【例3】 (2018河南郑州外国语学校第十五次调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=3sin C.(1)若cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求sin A+sin B的值;(2)若c=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,所以1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,所以sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,所以a2+b2-c2=-ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=-12,又0C,所以C=23,sin A+sin B=3sin C=3sin23=32.(2)当c=2,a+b=3c=23,所以cos C=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab=4ab-1,所以sin C=1-cos2C=1-(4ab-1)2=-(4ab)2+8ab,所以SABC=12absin C=12ab-(4ab)2+8ab=12-16+8ab,因为a+b=23,所以a+b=232ab,即ab3,当且仅当a=b=3时等号成立,所以SABC=12-16+8ab12-16+83=2,所以ABC面积的最大值为2.(对应学生用书第24页) 【典例】 (2017全国卷,理17)(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.评分细则:解:(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA,2分由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA,4分故sin Csin B=23.6分注:由题设选择恰当的面积公式建立方程得2分;利用正弦定理边角互化得2分;得出结果得2分.(2)由题设6cos Bcos C=1及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12,8分所以B+C=23,故A=3,9分由题设得12bcsin A=a23sinA,a=3,所以bc=8,10分由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,解得b+c=33,11分故ABC的周长为3+33.12分注:由题设条件得到cos(B+C)=-12得2分;求出角A得1分;利用面积求出bc=8得1分;利用余弦定理求出b+c=33得1分;最后求出ABC的周长得1分.【答题启示】(1)解三角形的基本工具是勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换公式,解题中首先要保证知识使用正确.(2)解三角形的基本思想是方程思想,通过(1)中的知识和已知条件得出关于求解目标的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得结果.
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