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第三章 函数的应用测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是()解析由二分法的定义易知选A.答案A2.已知函数f(x)=2x-b的零点为x0,且x0(-1,1),则b的取值范围是()A.(-2,2)B.(-1,1)C.-12,12D.(-1,0)解析解方程f(x)=2x-b=0,得x0=b2,所以b2(-1,1),即b(-2,2).答案A3.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析因为f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-30.因为f(1)f(2)0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).答案C4.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()解析把y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x)-1与x轴无交点.答案C5.已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:小时)的函数关系用图象表示为()解析本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20-5t(0t4),故选B.答案B6.国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%;超过280万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元解析设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%.解得a=28022-0.25=320.答案D7.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1解析设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1)-1,故选D.答案D8.如图,ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且lAB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的()解析设AB=a,则y=12a2-12x2=-12x2+12a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.故选C.答案C9.已知0a0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在两个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选C.答案C11.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析设y1=2x,y2=1x-1,在同一平面直角坐标系中作出它们图象.如图,在区间(1,x0)内,y2=1x-1的图象在y1=2x图象的上方,即1x1-12x1,所以2x1+11-x10,即f(x1)0.答案B12.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象.由于目前本条线路亏损,公司有人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2、3所示.根据图象判断下列说法错误的是()图2的建议为减少运营成本图2的建议可能是提高票价图3的建议为减少运营成本图3的建议可能是提高票价A.B.C.D.解析根据题意和题图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变;由题图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得正确,错误.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=1-x21+x的零点是.解析由f(x)=0,即1-x21+x=0,得x=1,即函数f(x)的零点为1.答案114.已知函数f(x)=|x2+3x|,xR,若方程f(x)-a=0恰有4个互异的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.解析在同一个直角坐标系内分别作出y=f(x)=|x2+3x|与y=a的图象,如图所示.不妨设x1x2x3x4,由图象y=f(x)的对称性可知,x1+x4=-3,x2+x3=-3,所以x1+x2+x3+x4=-6.答案-615.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍(假设二者相应的标准地震的振幅相同).解析第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,所以A1=109A0,A2=105A0,A1A2=10 000.答案610 00016.某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似数(精确到0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)0,他用“二分法”取到了4个x的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为x1.8,那么他所取的4个值中的第2个值为.解析先判断零点所在的区间为(1,2),故用“二分法”取的第1个值为1.5,由于方程的近似解为x1.8,故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2),故取的第2个值为(1.5+2)2=1.75.答案1.75三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1),当2a3b2,f(x)=logax+x-b在(0,+)上为增函数,且f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b,2a3b4,0loga21,-22-b-1.-2loga2+2-b0.又1loga32,-13-b0,0loga3+3-b2,f(2)0.又f(x)在(0,+)上是单调函数,f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.n=2.18.(本小题满分12分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,直线MNAD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.解当点N在BC上时,y=(2a-x)a(ax2a);当点N在AB上时,y=3a22-12x2(0xa).综上,有y=32a2-12x2(0xa),2a2-ax(ax2a).19.(本小题满分12分)已知f(x)=ax+b,x0,-x2-1,x0,a1.(1)若f(x)在(-,+)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;(2)当a=2时,函数f(x)在(-,+)上只有一个零点,求实数b的取值范围.解(1)由题易知f(x)在(-,0)上单调递增,f(x)在(-,+)上应是单调递增的,a1,且f(0)=1+b-1,得b-2.综上,a,b的取值范围分别是a1,b-2.(2)x0时,f(x)-1,f(x)在(-,0)上无零点,x0时,f(x)=2x+b只有一个零点,f(x)在0,+)上单调递增,且f(x)1+b,+),f(0)=1+b0,b-1.实数b的取值范围是b(-,-1.20.(本小题满分12分)经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1x30,xN*)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=40+x,1x10,60-x,10x30,第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格销售量).(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.解(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,解得a=50.从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),即第15天该商品的销售收入为1 575元.(2)由题意可知y=(40+x)(50-x),1x10,(60-x)(50-x),10x30,即y=-x2+10x+2 000,1x10,x2-110x+3 000,10x30,当1x10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.故当x=5时y取最大值,ymax=-52+105+2 000=2 025.当10x30时,y200可得1.1x2,即xlg2lg1.10.3010.0417.3,即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
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