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1.1.2 余弦定理课后篇巩固探究A组1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60,则c=()A.1B.2C.4D.6解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).答案C2.(2017江西临川二中期中考试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为()A.B.22C.32D.33解析由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12.因为C(0,),所以C=3,sin C=32.故选C.答案C3.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是()A.a=bcos C+ccos BB.a=bcos C-ccos BC. a=bsin C+csin BD.a=bsin C-csin B解析bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a.答案A4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为,则由余弦定理,得cos =(a+m)2+(b+m)2-(c+m)22(a+m)(b+m)=m2+2m(a+b-c)2(a+m)(b+m).因为m20,a+b-c0,所以cos 0,所以为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.答案A5.在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322B.332C.32D.33解析在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=32+42-13234=12,A=60.边AC上的高h=ABsin A=3sin 60=332.故选B.答案B6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cos A=.解析由B=C,得b=c=32a.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=32a2+32a2-a2232a32a=13.答案7.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos Asin C,则b的值为.解析由正弦定理及余弦定理,得sin B=6cos Asin C可化为b=6b2+c2-a22bcc,化简得b2=3(b2+c2-a2).a2-c2=2b,且b0,b=3.答案38.如图,在ABC中,已知点D在边BC上,ADAC于点A,sinBAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.解析因为sinBAC=223,且ADAC,所以sin2+BAD=223,所以cosBAD=223.在BAD中,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2ABADcosBAD=(32)2+32-2323223=3.答案39.导学号04994004在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即a2+b2-c22ab=12,所以cos C=,所以C=60.10.在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cos A=234=32,a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+2012b=34,解得b=4或b=5.当b=4时,a=4,A=B.又C=2A,且A+B+C=,A=4,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.B组1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是()A.33B.-33C.3D.-3解析由题意及正弦定理,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-.因为0A,所以A=23,tan A=tan23=-3,故选D.答案D2.在ABC中,已知sin A=2cos Bsin C,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.不确定解析(方法一)由正弦定理,得a=2ccos B.由余弦定理,得a=2ca2+c2-b22ac,化简得b=c.则ABC是等腰三角形.(方法二)sin A=2cos Bsin Csin(B+C)=2cos Bsin Csin Bcos C+cos Bsin C=2cos Bsin Csin Bcos C-cos Bsin C=0sin(B-C)=0.-B-Cba,则角C最大.cos C=a2+b2-c22ab=32+52-72235=-,且0Cb,ac,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故ABC的周长为30.答案305.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为.解析由余弦定理,得2accos Btan B=3ac,整理,得sin B=32,所以B=60或120.答案60或1206.(2017河北冀州中学)在ABC中,BD为ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sinABD=.解析因为BD为ABC的平分线,所以ABD=ABC.由余弦定理,得cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=32+22-(7)2232=12,所以cosABC=1-2sin2ABD=,所以sinABD=.答案7.导学号04994005若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以2a+10,a0,2a-10,解得a,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-12a+1,解得a2.设最长边2a+1所对的角为,则90,所以cos =a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)0,解得a8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).
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