概率论总复习-知识总结.ppt

概率论与数理统计总复习 一 内容提要二 典型例题 随机试验 可能结果 基本事件Ai 不含任何ei Ai任何组合 事件A S 不可能 必然 完备事件组Ai 等概完备事件组 贝努利试验 独立试验概型 只有两个可能结果 n次重复 等概概型 B由其中m个事件组成公式 一 概念之间的关系 一 随机变量与概率 1 运算关系 包含 A则B 相等 A B 和 至少有一个发生AUB 积 同时发生AB A B不相容 A B对立记为 差 A B B S A 二 事件的关系 除与一般代数式运算相同的法则以外 注意 1 对偶律 2 其他 3 独立性 事件的独立性是由概率定义的 n个事件的独立性要求 个等式成立 三 解题方法 1 一般概率 1 利用两种概型 10古典 20n重贝努利概型 2 利用事件间的运算 2 运算法则 化为事件的和 利用对立事件 A B相互独立 分解到完备组中 全概公式 利用随机变量及其分布计算 一般情况 化为事件的积 一般情况 是完备组 2 用乘法公式 1 在缩减完备组中计算 方法同1 3 用贝叶斯公式 2 条件概率 一实数值X ei 一 随机变量的定义 对于随机试验E的每一个可能结果ei 的变量 则称实数变量X ei 为一个随机变量 简记为X 注意 1 X是定义在随机试验结果的集合 ei 上 按试验的不同结果而取不同的值 取值是随机的 2 在一定的试验下 二 随机变量及其分布 都唯一地对应着 因此X的 可以依据我们所关心的结果的 数值特征选取X所代表的具体意义 3 X的引入使我们便于研究随机试验的全貌 并使用分析的工具 1 离散型随机变量 随机变量X的取值可以一一列举 有限或无限 定义 概率分布 分布列 表示法 称X为离散型随机变量 二 随机变量的分布及性质 公式法 列表法 图示法 性质 定义 对于随机变量X 若存在非负函数 使对任意实数 则称X为连续型随机变量 的密度 都有 其图形 2 归一性 1 非负性 密度函数的性质 2 连续性随机变量 3 分布函数 为X的分布函数 记作 设X是一个随机变量 称 定义1 分布函数的性质 1 单调不减性 3 右连续性 对任意实数x 2 归一性 若x1 x2 则F x1 F x2 对任意实数x 0 F x 1 且 1 分布函数 的值表示了X落在 2 离散型 若 分布函数的几点说明 是一个普通的函数 内的概率 由于 是X取 的诸值 的概率之和 故又称 为累积概率函数 图形特点 是一条有跳跃的上升 阶梯形曲线 3 X为连续性随机变量 在 3 把Y的分布用表 离散型 或Y的密度 连续性 1 问题 若 之间的事件等价关系 关系和分布函数关系 是随机变量 表述出来 其中 已知X的分布 求 的分布 2 基本方法 4 随机变量函数的分布 是x的函数 研究 1 由 2 由 之间的事件的关系再求 之间的分布 3 具体讨论 则 当 若X的分布列 当 则 1 离散型 其他 及有关函数表述出来 求 其为等价的事件 将 用 利用 求出Y的密度函数 2 连续性 设X是一个取值于区间 具有概率密度 的连续型随机变量 性质 一 二维随机变量 X Y 的分布函数 定义 对于任意实数 二元函数 称为二维随机变量 X Y 的分布函数 的联合分布函数 或称为X和Y 三 二维随机变量及其分布 2 且 是变量 的不减函数 即 二 离散型 的所有可能取值为 设 则 和Y的联合分布列 称为二维随机变量 的分布列 或随机变量X 非负性 归一性 二维离散型随机变量的联合分布列 关于X的边缘分布 X Y 的边缘分布 设 的分布列为 分别记 三 连续型 总有 的联合概率密度 其具有以下性质 定义4设二维随机变量 的分布函数为 对任意实数 为 的概率密度 或称为随机变量 和 对于非负可积的函数 非负性 归一性 为关于X和Y的边缘概率密度 定理设 则 分别是 边缘概率密度 均有 两个随机变量的独立性 若二维随机变量 对任意的实数 成立 则称随机变量 与 是相互独立的 若记 且 成立 可见X Y相互独立的定义与两个事件相互 独立的定义是一致的 判断X Y相互独立的办法 其的概率密度为 的边缘概率密度分别为 四 随机变量的数字特征 一 数学期望EX 定义 X为离散型 X为连续型 若 X为离散型 X为连续型 X为离散型其分布列为 X为连续型其密度函数为 若 X Y 有联合密度 期望的性质 其中C为常数 2 对于任何常数 及b 3 若 相互独立 则 定义 计算公式 二 方差 X为离散型其分布列为 X为连续型其密度函数为 X为离散型 X为连续型 其中k为常数 3 对于任何常数 及b 相互独立 则 方差的性质 均匀分布 泊松分布 二项分布 0 1分布 参数范围 方差 均值 概率分布 名称 四 常用的六个分布 指数分布 标准正态分布 参数范围 方差 均值 概率分布 名称 四 常用的六个分布 正态分布 任意 称为标准化的随机变量 有 2 正态分布随机变量函数的标准化 表可查 注意 COV X Y E X EX Y EY 若随机变量X Y为离散型 若随机变量X Y为连续型 协方差 相关系数 COV X Y E XY EXEY 一般计算公式 COV X Y E XY EXEY 可见 存在的必要条件为 COV X Y 0 即 定义 若 可见 若X与Y独立 称X与Y不相关 D X士Y DX DY士2COV X Y D X士Y DX DY 即 1 COV X X E X EX 2 DX 3 COV aX bY abCOV X Y a b是常数 4 COV X1 X2 Y COV X1 Y COV X2 Y 二 协方差与相关系数的性质 2 COV X Y COV Y X COV X Y E X EX Y EY 5 2 3 4 1 相关系数 则称X与Y不相关 四个等价命题 或 一 切比雪夫不等式 五 大数定理与中心极限定理 设 对任意 不等式 成立 则称此式为切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 独立同分布下的大数定律 贝努里大数定律 之和总可以近似服从正态分布 二 独立同分布下的中心极限定理 设X1 X2 Xn 相互独立 且服从同一分布 具有相同的期望和方差 则 此定理表明 无论 原来服从什么 分布 当n充分大时 即 三 棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理 设随机变量 此定理的常用公式有 统计部分第六章 1 卡方分布 t分布 F分布的定义及性质 2 抽样分布定理 点估计量的求解方法 1 矩法 2 极大似然法 2 无偏性 3 置信区间 则关于参数的置信度为0 95的置信区间 或 则关于参数的置信度为0 95的置信区间 统计部分第七章 假设检验的思想 1 原假设与备选假设 2 的意义 2 假设检验 统计部分第八章 1 U检验法 2 t检验法 3 卡方检验法 概率部分第一章典型题目 第二章 9 16 1 8 例 一单位有甲 乙两人 已知甲近期出差的概率为80 若甲出差 则乙出差的概率为20 若甲不出差 则乙出差的概率为90 1 求近期乙出差的概率 2 若已知乙近期出差在外 求甲出差的概率 44 Bayes公式 全概率公式 解 设A 甲出差 B 乙出差 45 例3 设X的概率密度为 1 求常数c的值 2 写出X的概率分布函数 3 要使求k的值 解 第二章 0 05 1 1 2 第二章 48 例 解 例 解 例设随机变量的概率密度为 1 确定常数 2 求 3 求 4 求 解 1 由得 所以 2 3 4 在的区域 上作直线 并记则 例3 思路 解 从而 例4 解 从而有 故得 从而有 因此 解 例5 解 根据矩估计法 补充2 解 补充3 解 补充4 这一估计量与矩估计量是相同的 解 例2 二 典型例题 解 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 需检验假设 例4 设某次考试的考生成绩服从正态分布 从中 随机地抽取36位考生的成绩 算得平均成绩为 66 5分 标准差为15分 问在显著性水平0 05下 分 并给出检验过程 查表8 6例5的检验计算表 知拒绝域为