概率论与数理统计(第三版)第七章习题.ppt

第七章习题 2 设X1 X2 Xn为总体的一个样本 x1 x2 xn为一相应的样本值 求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值 1 解因为只有一个未知参数 故只计算总体一阶矩 1即可 解出 得到参数 的矩估计量 矩估计值 其中c 0为已知 1 为未知参数 2 2 其中 0 为未知参数 解因为只有一个未知参数 故只计算总体一阶矩 1即可 解出 得到参数 的矩估计量 矩估计值 3 求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量 1 其中c 0为已知 1 为未知参数 解似然函数 xi c i 1 2 n 时 取对数得 令 得到 的最大似然估计值 的最大似然估计量 3 2 其中 0 为未知参数 解似然函数 0 xi 1 i 1 2 n 时 取对数得 令 得到 的最大似然估计值 的最大似然估计量 4 2 设X1 X2 Xn是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本 试求 的最大似然估计量及矩估计量 解泊松分布的分布律为 总体一阶矩 1 E X 得到参数 的矩估计量 似然函数 取对数得 令 得到 的最大似然估计值 的最大似然估计量 设x1 x2 xn为相应的样本值 8 1 验证第六章 2定理四中的统计量 是两总体公共方差 2的无偏估计量 SW2称为 2的合并估计 证 两正态总体N 1 12 N 2 22 中 12 22 2 而不管总体X服从什么分布 都有E S2 D X 因此E S12 E S22 2 2 设总体X的数学期望为 X1 X2 Xn是来自X的样本 a1 a2 an是任意常数 验证 是 的无偏估计量 证 E X1 E X2 E Xn E X 10 设X1 X2 X3 X4是来自均值为 的指数分布总体的样本 其中 未知 设有估计量 T2 X1 2X2 3X3 4X4 5 T3 X1 X2 X3 X4 4 1 指出T1 T2 T3中哪几个是 的无偏估计量 2 在上述 的无偏估计量中指出哪一个较为有效 解Xi i 1 2 3 4 服从均值为 的指数分布 故E Xi D Xi 2 1 因此T1 T3是 的无偏估计量 2 X1 X2 X3 X4相互独立 由于D T1 D T3 所以T3比T1较为有效 12 由极值必要条件 解得 而 由于 故D Y 必有唯一极小值即最小值 14 设某种清漆的9个样品 其干燥时间 以小时计 分别为 6 05 75 86 57 06 35 66 15 0 设干燥时间总体服从正态分布N 2 求 的置信水平为0 95的置信区间 1 若由以往经验知 0 6 2 若 为未知 解 1 2已知 的置信水平为1 的置信区间为 n 9 1 0 95 0 05 z0 025 1 0 025 0 975 z0 025 1 96 的一个置信水平为0 95的置信区间为 5 608 6 392 2 2未知 的置信水平为1 的置信区间为 n 9 1 0 95 0 05 t 2 n 1 t0 025 8 2 3060 s 0 5745 的一个置信水平为0 95的置信区间为 5 558 6 442 16 随机地取某种炮弹9发做试验 得炮口速度的样本标准差s 11 m s 设炮口速度服从正态分布 求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为0 95的置信区间 解 未知 的置信水平为1 的置信区间为 n 9 1 0 95 0 05 2 2 n 1 20 025 8 21 2 n 1 20 975 8 17 535 2 18 又s 11 标准差 的置信水平为0 95的置信区间为 7 4 21 1 18 随机地从A批导线中抽取4根 又从B批导线中抽取5根 测得电阻 欧 为A批导线 0 1430 1420 1430 137 B批导线 0 1400 1420 1360 1380 140 设测定数据分别来自分布N 1 2 N 2 2 且两样本相互独立 又 1 2 2均为未知 试求 1 2的置信水平为0 95的置信区间 解两正态总体相互独立 方差相等 但方差未知 其均值差 1 2的一个置信水平为1 的置信区间为 n1 4 n2 5 1 0 95 0 05 t 2 n1 n2 2 t0 025 7 2 3646 1 2的一个置信水平为0 95的置信区间为 0 002 0 006 20 设两位化验员A B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定 其测定值的样本方差依次为sA2 0 5419 sB2 0 6065 设 A2 B2分别为A B所测定的测定值总体的方差 设总体均为正态的 设两样本独立 求方差比 A2 B2的置信水平为0 95的置信区间 解两正态总体均值未知 方差比 A2 B2的一个置信水平为1 的置信区间为 nA 10 nB 10 1 0 95 0 05 F 2 nA 1 nB 1 F0 025 9 9 4 03 sA2 0 5419 sB2 0 6065 A2 B2的一个置信水平为0 95的置信区间为 0 222 3 601 22 2 求18题中 1 2的置信水平为0 95的单侧置信下限 解 按照t分布的上 分位点的定义 即 1 0 95 0 05 t n1 n2 2 t0 05 7 1 8946 1 2的置信水平为0 95的单侧置信下限为 22 3 求20题中方差比 A2 B2的置信水平为0 95的单侧置信上限 解由p169定理四得 按照F分布的下 分位点的定义 即 20题中已得到nA 10 nB 10 sA2 0 5419 sB2 0 6065 1 0 95 0 05 1 F1 nA 1 nB 1 F nB 1 nA 1 F0 05 9 9 3 18 A2 B2的置信水平为0 95的单侧置信上限为