概率论1-4章课后习题讲解.ppt

1 概率论与数理统计习题解答课件 2 第一章随机事件及概率 3 P23习题1 1有数字0 1 2 3 4 5能组成多少个没有重复数字的五位数 这6个数字选出5个来排列的方法有 解 由题意可知 种 而 首位为0的有 种 故首位不能为0的为 4 P23习题1 2从含3件次品 7件正品的产品中任取5件 其中有4件正品与1件次品 试问有多少种取法 解 由题意可知 任取5件 其中有4件正品与1件次品的取法为 5 P23习题1 3试证 证明 由概率的加法公式得任意的两个事件A B有 故 6 P23习题1 4从含45件正品 5件次品的产品中任取3件产品 试求其中恰有一件次品的概率 解 由题意可知 A表示任取3件中有一件为次品事件 50件 中任取3件的取法为 而有一件为次品的取法为 故 7 P23习题1 5一袋中装有6只白球 4只红球 2只黑球 求 解 1 任取4个球都是白球的取法为 1 从中任取4个球都是白球的概率 4个球的取法有 2 从中任取6个球恰好3白 2红 1黑的概率 而任取 故任取4个球都是白球的概率 2 从中任取6个球恰好3白 2红 1黑的概率 8 P23习题1 6将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中 求 解 1 每个盒子都放有的方法有 1 没有一个空盒子的概率 法有 2 至少有一个空盒子的概率 而总共的方 故没有一个空盒子的概率 P A 2 至少有一个空盒子的概率为 P B 1 P A 9 P23习题1 7在区间 0 1 中随机地抽取两个数 求事件 两数之和小于6 5 的概率 解 用x y分别表示从 0 1 中取出的2个数 则样本空间 为正形 如图所示 K为区域 K 所以由几何概型得 x y 6 5 10 P23习题1 8设一质点落在 解 如右图所示 由题意可知所求的概率为 轴 轴及直线 所围成的三角形区域内各点是等可能的 求这点在直线左边的概率 A B S x y o 11 解 设A 第一次取得红球 B 第二次取得红球 P23习题1 9袋中有10个球 其中8个红球 2个白球 现从中任取两次 每次一球 作不放回抽样 求下列事件的概率 1 两次都取红球 2 两次中一次取得红球 另一次取得白球 3 至少一次取得白球 4 第二次取得白球 12 解 1 P AB P A P B A 13 解 设A 甲译出密码 B 乙译出密码 P A 1 5 P B 1 3 P C 1 4 则A B C相互独立 且 C 丙译出密码 则此密码被译出的概率为 P23习题1 10甲 乙 丙三人独立地翻译一个密码 他们译出的概率分别是1 5 1 3 1 4 试求此密码被译出的概率 14 P23习题1 11玻璃杯成箱出售 每箱20只 假设各箱含0 1 2只残次品的概率相应为0 8 0 1和0 1 一顾客欲购买一箱玻璃杯 在购买时时 售货员随意取一箱 而顾客随机地查看4只 若无残次品 则购买下该箱玻璃杯 否则退回 求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中 确实没有残次品的概率 15 解 1 设Ai 一箱玻璃杯中含有i个残次品 i 0 1 2 B 从一箱玻璃杯中任取4只无残次品 由题设可知 P A0 0 8 P A1 0 1 P A2 0 1 根据全概率公式得 16 P23习题1 12设8支枪中有3支未经试射校正 5支已经试射校正 一射手用校正的枪射击时 中靶概率为0 8 而用未校正过的枪射击时 中靶概率为0 3 现假定从8支枪中任取一支进行射击 结果中靶 求所用的枪是已校正过的概率 17 解设A 经过校正的枪 C 射击中靶 由题设可知 P A 5 8 P B 3 8 P C A 0 8 P C B 0 3 根据全概率公式得 B 未经校正的枪 18 P23习题1 13对飞机进行3次独立射击 第1次射击的命中率为0 4 第2次为0 5 第3次为0 7 飞机被击中1次而坠落的概率为0 2 被击中2次而坠落的概率为0 6 若被击中3次飞机必坠落 求射击3次使飞机坠落的概率 设B 飞机坠落 Ai 飞机被击中i次 i 1 2 3 由全概率公式 则B A1B A2B A3B 解 依题意 P B A1 0 2 P B A2 0 6 P B A3 1 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 19 可求得 为求P Ai 将数据代入计算得 设Hi 飞机被第i次射击击中 i 1 2 3 P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 20 于是 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机坠落的概率为0 458 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 21 P24习题1 14某人每次射击的命中率为0 6 独立射击5次 求 1 击中3次的概率 2 至少有1次未击中的概率 解 1 2 考虑至少有1次未击中的对立事件 即每次都击中 其概率为 故至少有1次未击中的概率为 22 P24习题1 15某车间有12台车床 由于工艺上的原因 时常发生故障 设每台车床在任一时刻出故障的概率为0 3 且各台车床的工作是相互独立的 计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率 解 设A 任一指定时刻有3台以上车床发生故障 又因为 23 有0台车床发生故障的概率为 有1台车床发生故障的概率为 有2台车床发生故障的概率为 故 有3台车床发生故障的概率为 24 P24习题1 16若1人负责维修同类型的设备20台 设各台设备的工作是相互独立的 在一天内发生故障的概率都是0 01 维修用不了多长时间 求设备发生故障而不能得到及时处理的概率 若3人共同负责维修80台呢 25 解 1 设A 设备发生故障而不能得到及时处理 故 26 2 设A 设备发生故障而不能得到及时处理 故 27 第二章随机变量及其分布 28 P43习题2 1设在15只同类型的零件中有2只次品 在其中取3次 做不放回抽样 以X表示取出次品的个数 求X的分布率 解 设X表示取出次品的个数 则X的取值可能是0 1 2 p X 0 p X 1 29 p X 2 所以X的分布律为 30 P43习题2 2一实习生用一台机器接连独立地制造了3个不同的零件 第i个零件是不合格的概率为Pi 1 i 1 i 1 2 3 以X表示3个零件中合格品的个数 求X的分布律 解 设Ai为第i个零件为不合格品事件 显然A1 A2 A3为相互独立事件 由题设可知 X的取值只能是0 1 2 3 P A1 1 2P A2 1 3P A3 1 4 31 P X 0 1 24P X 1 6 24P X 2 11 24P X 3 1 4所以X的分布列为 32 P43习题2 3一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿灯的路口 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号显示的概率为1 2 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数 33 解 X的取值为0 1 2 3 P X 0 1 2 X的概率分布为 P X 1 1 2 1 2 1 4 P X 2 1 2 1 2 1 2 1 8 P X 3 1 2 1 2 1 2 1 8 34 P43习题2 4将一枚硬币连投n次 X表示n次中出现正面的次数 求X的分布律 解 X B n 1 2 则X的分布律为 35 求X的分布函数 P43习题2 5已知离散型随机变量X的分布率为 36 解 由分布函数的定义 则X的分布函数 37 1 求系数A 2 X的分布函数F x P43习题2 6设随机变量X的密度为 38 所以A 1 2 2 因为 1 因为 39 所以 40 求X的分布函数 解 当X 0时 P43习题2 7设随机变量X的概率密度为 41 所以 当X 0时 42 P44习题2 8设连续型随机变量X的分布函数为 求 1 A 2 P 0 3 X 0 7 3 X的概率密度f x 解 1 F x 在x 1点连续 由连续性得 所以 A 1 43 0 x 02x 0 x 10 1 x 即 3 44 若一架收音机上装了3个这种管子 求 1 使用的最初150小时内至少有2个电子管烧坏的概率 2 在使用的最初150小时内烧坏电子管数Y的分布率 3 Y的分布函数 P44习题2 9设电子管的寿命X的概率密度为 45 因此至少有两电子管被烧坏的概率为 解 1 最初150小时电子管烧坏的概率为 46 2 Y为在使用最初150小时内烧坏的个数 则Y B 3 1 3 47 因此电子管数Y的分布列为 48 3 Y的分布函数为 49 P44习题2 10设随机变量X的概率密度为 表示观测值不大于0 1的次数 试求随机变量的概率分布 现对X进行n次独立重复观测 以 50 解 设X表示观测值不大于0 1的次数 51 因此随机变量的概率分布为 52 P44习题2 11设随机变量X服从 1 6 上的均匀分布 求方程y2 Xy 1 0有实根的概率 解因为要使方程有实根 则其判别式所以或又因为X服从 1 6 分布 故 53 P44习题2 12设现对X进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 解 由题意得 记A X 3 则P A P X 3 2 3 设Y表示三次独立观测中A出现的次数 则 54 故所求为 P Y 2 P Y 3 20 27 P Y 2 55 P44习题2 13设顾客在某银行窗口等待服务的时间X 单位 分 服从参数为1 5的指数分布 若等待的时间超过10分钟 则他就离开 设他一个月内要来银行5次 以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数 求Y的分布律及P Y 1 56 解 1 因为所以 57 2 Y是表示10分钟内等不到的次数 则 58 P44习题2 14设随机变量X N 108 32 求 1 常数a 使P X a 0 90 2 P 101 1 x 11 76 解 1 由题设可知查表可知所以 59 2 因为又因为所以 60 P44习题2 15某产品的质量指标若要求 若要求 问许最大的多少 解 因为 即 61 查表可知 所以 62 P44习题2 16测量到某一目标的距离发生的随机误差X m 具有概率密度求 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率 63 解 误差的绝对值不超过30米的概率为所以误差超过30米的概率为 1 0 4931 0 5069所以三次误差绝对值都超过30米的概率为 64 因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30的概率为 65 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比 P44习题2 17设随机变量X的绝对值不大于1 在事件 1 X 1 出现的条件下 X在 1 1 试求 2 X取负值的概率P 1 X的分布函数F x 66 解 由题设知 设 于是 1 当 当 当 上式中令得 推导较复杂先做准备工作 67 又 于是当时 68 2 69 P45习题2 18设X B 3 0 4 求下列随机变量的分布律1 Y1 X22 Y2 X2 2X3 Y3 3X X2 2 解 X的概率分布为P X k 列表如下 70 则有Y1 Y2 Y3的分布律分别为 71 P45习题2 19设随机变量X的概率密度函数为 求随机变量Y 的概率密度函数 解 先求Y的分布函数FY y P Y y P y 1 当y 1时 P X 0 0 2 当y 1时 FY y P X lny 72 所以Y的概率密度函数为 即 73 第三章多维随机变量及其分布 74 P72习题3 1箱子里装有12只开关 其中只有2只次品 从箱中随机地取两次 每次取一只 且设随机变量X Y为 试就放回抽样与不放回抽样两种情况 写出X与Y的联合分布律 75 解 先考虑放回抽样的情况 则X Y的联合分布律为 76 再考虑不放回抽样的情况 则此种情况下 X与Y的联合分布律为 77 P72习题3 2将一硬币连掷三次 以X表示在三次中出现正面的次数 以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 试写出 X Y 的联合分布律及边缘分布律 解 已知可得 X的取值可能为0 1 2 3 Y Y的取值可能为1 3 硬币出现正面和反面的概率各为 可知 78 79 Y13 X0123 03 83 806 81 8001 82 81 83 83 81 81 联合概率分布表为 80 解 由已知可得 X的取值可能为0 1 2 3 Y的取值可能为0 1 2 3 则 P72习题3 3把三个球随机地投入三个盒子中去 每个球投入各个盒子的可能性是相同的 设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数 求二维随机变量 X Y 的概率分布及边缘分布 81 82 则二维随机变量 X Y 的概率分布及边缘分布为 83 P72习题3 4设 X Y 的概率密度为 求 1 P x y D 其中D x y x 1 y 3 2 P x y D 其中D x y x y 3 84 解 1 2 85 P72习题3 5设 X Y 的概率密度为 求 1 系数c 2 X Y 落在圆 内的概率 86 解 1 由 得 可求得 2 设 则 87 P72习题3 6已知随机变量X和Y的联合概率密度为 求X和Y的联合分布函数 解 随机变量X和Y的联合概率密度为 当x 0 或y 0时 F x y 0 当 时 88 当 时 当 时 综上可得 X和Y的联合分布函数为 当 时 89 P72习题3 7设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 求常数k 2 求P 0 x 2 1 y 3 3 求X Y的边缘概率密度 4 判断X与Y是否相互独立 90 解 1 由概率密度的性质有 即 有 2 91 3 X的边缘概率密度为 当0 x 6时 当x 0或x 6时 显然有 92 Y的边缘概率密度为 当0 y 6时 当y 0或y 6时 显然有 4 X与Y不相互独立 从及的表达式易知 93 P73习题3 8已知随机变量X1和X2的概率分布 X1 101 P1 41 21 4 X201 P1 21 2 而且P X1X2 0 1 1 求X1和X2的联合分布 2 问X1和X2是否独立 为什么 94 0 0 联合概率分布表如右图 1 2 0 1 4 1 4 1 0 0 1 1 1 解 1 因为P X1X2 0 1 所以P X1X2 0 0 即P X1 1 X2 1 0 P X1 1 X2 1 0 P X1 0 X2 1 1 2 P X1 0 X2 0 0 P X1 1 X2 0 1 4 P X1 1 X2 0 1 4 Pi 1 41 21 4 P j1 21 2 95 所以 可知 和 不独立 2 X1和X2不独立 P X1 0 X2 1 1 2 因为 P X1 0 1 2 P X2 1 1 2 P X1 0 X2 1 P X1 0 P X2 1 1 4 96 P73习题3 9设随机变量X与Y相互独立 且都服从 上的均匀分布 求方程 实根的概率 解 方程 有实根的充要条件是 由于随机变量X与Y相互独立 所以随机变量 X Y 的联合概率密度为 下面分两种情况讨论 有 97 1 当 时 如图 98 2 当 时 如图 99 综上可得 方程 有实根的概率为 100 求边缘概率密度和P X Y 1 解 1 当x 0时 fX x 0 所以X的边缘概率密度为 当x 0时 P73习题3 10设 X Y 的概率密度为 101 Y的边缘概率密度为 当y 0时 当y 0时 所以Y的边缘概率密度 而 102 P73习题3 11设X Y相互独立 其概率密度为 求Z X Y的概率密度 解 由已知得 当z 0时 103 当0 z 1时 当z 1时 Z X Y的概率密度为 104 此种类型的题目建议先求分布函数在求导得密度函数 解 X与Y独立 则 则 105 易求 106 从而 107 P73习题3 12设随机变量 X Y 的概率密度为 求Z X Y的概率密度 解 Z X Y的分布函数为 108 Z X Y的概率密度为 109 P73习题3 13设随机变量 X Y 的联合概率密度为 求Z X2 Y2的概率密度 110 时 时 解 当 当 111 P73习题3 14设二维随机变量 X Y 在矩形 上服从均匀分布 试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f s 解 由已知可得随机变量 X Y 的概率密度为 设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F s 则 112 矩形面积S的概率密度为 113 P73习题3 15设X和Y为两个随机变量 且 求 解 同理可得 114 又 115 求 1 P X Y 2 边缘概率密度 P73习题3 16设 X Y 的联合概率密度为 116 解 1 117 2 同理可得 118 3 因为 所以 119 注 习题3 16可以推广到如下一般形式 设X Y为相互独立同分布的连续型随机变量 证明 证 设X的分布函数为F x 概率密度为f x 由题设 可设Y的分布函数为F y 概率密度为f y 则 则 X Y 的联合概率密度为 f x y f x f y 故 120 121 P74习题3 17设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量 已知X的分布律为 P X i 1 3 i 1 2 3 又设 试写出变量 的分布律及边缘分布并求 122 Pi 1 91 35 9 P j5 91 31 9 解因为 0 联合概率分布表如下图 1 9 2 9 1 9 1 0 0 1 9 2 9 2 9 所以 其他同理可得 123 P74习题3 18设X关于Y的条件概率密度为 求 而Y的概率密度为 124 解因为 所以 所以X的概率密度为 则 125 P74习题3 19设 X Y 的概率密度为 求 1 Z max X Y 的概率密度 2 Z min X Y 的概率密度 解 1 设Z max X Y 的分布函数为 概率密度为则当时 126 当时 当时 故Z max X Y 的概率密度为 127 2 设Z min X Y 的分布函数为概率密度为则当时 当时 当时 128 故Z min X Y 的概率密度为 129 P74习题3 20假设一电路装有三个同种电器元件 其工作状态相互独立 且无故障工作时间都服从参数为 0的指数分布 当三个元件都无故障时 电路正常工作 否则整个电路不能正常工作 试求电路正常工作的时间T的概率分布 解 三个元件都无故障工作时间分别为X Y Z 则 T min X Y Z 且X Y Z的概率密度都为 130 则 故T服从参数为3 0的指数分布 即概率密度为 131 第四章随机变量的数字特征 132 P89习题4 1 解 设所需比赛场数为X 则X的分布律为 解 设所需比赛场数为X 则X的分布律为 133 P89习题4 2 解 由题意知 10个电子元件中有2个次品 所以在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况 即X 0 X 1X 2 134 则X的分布律为 X的数学期望为 135 P89习题4 3 解 乘客侯车时间的随机变量X在区间 0 5 服从均匀分布 其密度函数为 136 2 2 137 解 由题意可知 P89习题4 4 138 P90习题4 5 解 1 由密度函数的性质得 又由 139 2 当x 0时 F x 0 当0 x 1时 故X的分布函数 140 3 4 141 P90习题4 6解 随机变量X的密度函数为 142 P90习题4 7解 由题意可知 143 P90习题4 8解 由联合分布列求出其相应的边际分布列 144 P90习题4 9解 1 由密度函数的性质得 2 则 145 P90习题4 10解 1 由密度函数的性质得 2 146 由X Y的对称性 同理可得 147 148 P90习题4 11解 E 2X 3Y2 E 2X 3E Y2 2E X 3E Y2 149 P90习题4 12解 E X E Y 0 D X D Y 1 150 P90习题4 13解 1 由题意知 X的概率密度为 151 2 152 3 4 153 5 154 6 155 156 P90习题4 14解 设商店所获利润为P 则 157 要使E P 最大 则E P 对y求导为0 即