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22.1双曲线及其标准方程预习课本P4548，思考并完成以下问题 1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？2什么是双曲线的标准方程？1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距点睛平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即|MF1|MF2|2a，关键词“平面内”当2a|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2点睛(1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中，a，b大小不确定1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab()答案：(1)(2)(3)2已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0)B(5,0)，(5,0)C(0，5)，(0,5) D(0，)，(0，)答案：B3平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()A.1(x4) B.1(x3)C.1(x4) D.1(x3)答案：D4双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，3)，b2，则双曲线的标准方程是_答案：1双曲线标准方程的认识典例已知方程1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()Ak5Bk5或2k2或k2 D2k0.即或解得k5或2k2.答案B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn0时，方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线活学活用1已知双曲线1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A.B5C7 D.解析：选D根据题意可知，双曲线的标准方程为1.由其焦距为4，得c2，则有c22a3a4，解得a.2在方程mx2my2n中，若mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的双曲线 D焦点在y轴上的椭圆解析：选C方程mx2my2n可化为1.由mn0知0，b0)，则有a2b2c28，1，解得a23，b25.故所求双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可注意若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，注意标明条件mn0. 活学活用根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)；(2)双曲线过两点P，Q.解：(1)设双曲线的标准方程为1(4k16)将点(3，2)代入，解得k4或k14(舍去)，双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为Ax2By21(AB0)点，在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用典例已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积解因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以SF1PF2|PF1|PF2|3216.一题多变1变条件，变设问若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离解：由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5.由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|16.2变条件若本例条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它条件不变，求F1PF2的面积解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2448.在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用 层级一学业水平达标1已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线 D一条射线解析：选DF1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：选D依题意知解得a1.3焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.4“0k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A0k3，方程1表示双曲线；反之，方程1表示双曲线，(k1)(k5)0，解得1k5.故“0k0，b0)，则c，即a2b25.设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)，可知得即点P的坐标为(，4)，代入双曲线方程，得1.联立，得a21，b24，即双曲线的标准方程为x21.故选B.6设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167设点P在双曲线1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|PF2|13，则F1PF2的周长等于_解析：由题意知|F1F2|210，|PF2|PF1|6，又|PF1|PF2|13，|PF1|3，|PF2|9，F1PF2的周长为391022.答案：228已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.答案：9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.10已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为1，焦点在x轴上，且c.故可设双曲线方程为1(a0，b0)依题意得解得a23，b22.故双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1为钝角，故MF1F2是钝角三角形层级二应试能力达标1已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：选C依题意，得|F1F2|10.当a3时，|PF1|PF2|2a6|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a5时，|PF1|PF2|2a10|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线故选C.2已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距离分别为，.答案：，7已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)8设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解：(1)两圆的圆心分别为A(，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a4，c，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为y21.(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值为2.
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