高一数学排列组合与概率统计问题.ppt

2020年2月19日星期三 排列组合与概率统计问题的知识点导读训练 1 考前专题讲座 高中数学 排列组合是概率及统计的基础 因此 排列组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对重要 概率是初等概率论中最基本的内容 在历年的高考中 排列组合知识多是选择题或填空题 概率一般是一个解答题 这些题的题型繁多 解法独特 因此得分率普遍较低 本讲主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题的分析和处理方法 要明确堆的顺序时 必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列 即先分组后到位 若干个不同的元素局部 等分 有 个均等堆 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m 若干个不同的元素 等分 为 个堆 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m 非均分堆问题 只要按比例取出分完再用乘法原理作积 分组 堆 问题的六个模型 有序不等分 有序等分 有序局部等分 无序不等分 无序等分 无序局部等分 处理问题的原则 1 分组 堆 问题 例1 有五项不同的工程 要发包给三个工程队 要求每个工程队至少要得到一项工程 共有多少种不同的发包方式 解 要完成发包这件事 可以分为1 1 3 1 2 2两类发包方式 先将四项工程分为三 堆 有 种分法 再将分好的三 堆 依次给三个工程队 有3 6种给法 1 1 3发包方式共有10 6 60种 1 分组 堆 问题 或种分法 完成1 1 3发包方式有两个步骤 例1 有五项不同的工程 要发包给三个工程队 要求每个工程队至少要得到一项工程 共有多少种不同的发包方式 解 要完成发包这件事 可以分为1 1 3 1 2 2两类发包方式 先将四项工程分为三 堆 有 种分法 再将分好的三 堆 依次给三个工程队 有3 6种给法 1 2 2发包方式共有15 6 90种 1 分组 堆 问题 完成1 2 2发包方式也有两个步骤 综上 共有60 90 150不同的发包方式 例2 7人排成一排 甲 乙两人不相邻 有多少种不同的排法 解 分两步进行 几个元素不能相邻时 先排一般元素 再让特殊元素插孔 第1步 把除甲乙外的一般人排列 第2步 将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中 插孔 解决一些不相邻问题时 可以先排 一般 元素然后插入 特殊 元素 使问题得以解决 2 插空法 相邻元素的排列 可以采用 局部到整体 的排法 即将相邻的元素局部排列 捆绑 当成 一个 元素 然后再进行整体排列 3 捆绑法 例3 6人排成一排 甲 乙两人必须相邻 有多少种不的排法 解 分两步进行 甲乙 第一步 把甲乙排列 捆绑 第二步 甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队 几个元素必须相邻时 先捆绑成一个元素 再与其它的进行排列 例4 5个人站成一排 甲总站在乙的右侧的有多少种站法 几个元素顺序一定的排列问题 一般是先排列 再消去这几个元素的顺序 或者 先让其它元素选取位置排列 留下来的空位置自然就是顺序一定的了 4 消序法 留空法 方法1 将5个人依次站成一排 有 方法2 先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好 有 种站法 然后再消去甲乙之间的顺序数 甲总站在乙的右侧的有站法总数为 种站法 留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 甲总站在乙的右侧的有站法总数为 变式 如下图所示 有5横8竖构成的方格图 从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线 解 如图所示 将一条路经抽象为如下的一个排法 5 1 8 1 11格 其中必有四个 和七个 组成 所以 四个 和七个 一个排序就对应一条路经 所以从A到B共有 条不同的路径 4 消序法 留空法 也可以看作是1 2 3 4 5 6 7 顺序一定的排列 有种排法 n个相同小球放入m m n 个盒子里 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m 1个结点剪截成m段 例5 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选手名额分配到高三年级的1 4个教学班 每班至少一个名额 则不同的分配方案共有 种 5 剪截法 隔板法 分析 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 将16个小球串成一串 截为4段有 种截断法 对应放到4个盒子里 因此 不同的分配方案共有455种 n个相同小球放入m m n 个盒子里 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m 1个结点剪截成m段 变式 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选手名额分配到高三年级的1 4个教学班 每班的名额不少于该班的序号数 则不同的分配方案共有 种 5 剪截法 分析 问题等价于先给2班1个 3班2个 4班3个 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 将10个小球串成一串 截为4段有 种截断法 对应放到4个盒子里 因此 不同的分配方案共有84种 编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里 每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编号都不同 这种排列称为错位排列 6 错位法 特别当n 2 3 4 5时的错位数各为1 2 9 44 例6 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里 每个盒子放一个小球 其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有 种 解 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种 其余4组球与盒子需错位排列有9种放法 故所求方法有15 9 135种 变式 求其中恰有2个小球与盒子的编号相同的概率 7 剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数 这是一种间接解题的方法 例7 四面体的顶点和各棱中点共10个点 在其中取4个不共面的点 不同的取法共有 种 解 本题直接计数很困难 可用间接法 故不同的取法共有210 60 6 3 141种 从10个点中取4个有 种方法 剔除四点共面的情况有 1 四点在同一表面三角形上的种数为 2 一条棱上三点与其对棱中点共面的种数为6 3 平行一组对棱过余下四中点共面种数有3种 变式 求每两个点的连线中异面直线的对数 8 科学分类法 对于较复杂的排列组合问题 由于情况繁多 因此要对各种不同情况 进行科学分类 以便有条不紊地进行解答 避免重复或遗漏现象发生 例8任意相邻两个数码之和能被3整除的五位数的个数是 分析 由题意 每相邻两个数码各自被3除的余数之和必为0或3 所以 需要将十个数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9分为三组 第一组为 0 3 6 9 第二组为 1 4 7 第三组为 2 5 8 例8任意相邻两个数码之和能被3整除的五位数的个数是 分析 由题意 每相邻两个数码各自被3除的余数之和必为0或3 所以 需要将十个数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9分为三组 第1组为 0 3 6 9 第2组为 1 4 7 第3组为 2 5 8 第一类 五个位置全部由第1组的数字填充 有个 第二类 三个奇位由第2组的数填充 二个偶位由第3组的数填充 有个 第三类 三个奇位由第3组的数填充 二个偶位由第2组的数填充 有个 所以共有符合题意的五位数个 9 配对的问题 如 10位学生的父母参加了家长联谊会 一次集会中因某种原因仅来了8人 试求恰好有两位学生的父母来齐的概率 的问题 分析 首先 20人来了8人的所有可能为 其次 20人来了8人中恰好两对夫妻的可能为 先取出两对夫妻有种取法 再确定不是夫妻的4人有种方法 恰好有两位学生的父母来齐的概率为 排列组合应用题往往和代数 三角 立体几何 平面解析几何的某些知识联系 从而增加了问题的综合性 解答这类应用题时 要注意使用相关知识对答案进行取舍 以上通过例题的形式 介绍了几类常见的排列组合及古典概率的计算问题的分析和处理方法 仅仅是起到一个抛砖引玉的作用 希望能使所有听课同学的思维得到升华 综述与期望 本讲到此结束 请同学们再关注下一讲 谢谢 再见