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育才学校2019届高三上学期期末考试卷数学试题（理科）请在答题卡指定区域位置作答，在其它地方作答无效。第I卷 选择题 60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知全集， ， ，则集合=（ ）A. B. C. D. 2.已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. 2 D. 3.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 4.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）A. B. 2 C. D. 5.已知等差数列的前项和为，且， .若，则（ ）A. 420 B. 340 C. -420 D. -3406.已知双曲线： ，圆： ，若双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（ ）A. B. C. D. 7.设函数， ，若实数， 满足， ，则（ ）A. B. C. D. 8.已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 9.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 10.设， 分别是正方形的边， 上的点，且， ，如果（， 为实数），则的值为（ ）A. B. C. D. 11.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为A. B. C. D. 12.在四面体中， 与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 第II卷 非选择题 90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为_.14.已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则的面积为_15.如图，在棱长为的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为_.16.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则 的值为_三、解答题(共6小题 ,共70分) 17. (10分)已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.18. (12分)已知函数.（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的， 在上恒成立，求实数的取值范围.19. (12分)设等差数列的公差为d，前n项和为 成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和20. (12分)如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值21. (12分)如图所示，在四棱锥中， 平面是的中点, . （1）证明： 平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.22. (12分)已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.高三理科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 10.C 11.B 12.A二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13. 14. 15. 16.-1三、解答题(共6小题 ,共70分) 17.(1) (2) 解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，.则.为的平分线，.又.在中,由余弦定理可得，.18.(1) ；(2) .解析：（1）， .当时， ，令，得； ，得，所以在上单调递增， 上单调递减所以的极大值为，不合题意当时， ，令，得； ，得或，所以在上单调递增， 和上单调递减.所以的极大值为，解得符合题意综上可得（2）令， ，当时， ，则对恒成立等价于，即对恒成立.（）当时， ， ， ，此时，不合题意.（）当时，令，则，其中， ，令，则在区间上单调递增，当时，则，所以对， ，从而在上单调递增，所以对任意， ，即不等式在上恒成立时，由， 及在区间上单调递增，可得存在唯一的，使得，且时， .从而时， ，所以在区间上单调递减，所以当时， ，即，不符合题意综上所述所以实数的取值范围为19.（1）；（2）.解析：（1），又又成等比数列，即，解得，。(2)由（1）可得，.20.（1）椭圆的标准方程为； （2）面积的最大值为解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为由已知，点，则设点，据抛物线定义，得由已知，则从而，所以点设点为椭圆的左焦点，则，据椭圆定义，得，则从而，所以椭圆的标准方式是（2）设点，则两式相减，得，即因为为线段的中点，则所以直线的斜率从而直线的方程为，即联立，得，则所以设点到直线的距离为，则所以由，得令，则设，则由，得从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为21.解析：（1）证明：因为平面，所以，因为，所以，设，由余弦定可得， 因为，故，所以，因为，故平面.（2）以为原点，以所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则，所以可得， ，设平面的法向量，则有： ，设平面的法向量，则有： ，故,设二面角的平面角为 ，则.22.（1）（2）3解析：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.又时，时，.又时，.综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.（2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根，（设）.由（1）知，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则 .令，则 ，所以函数在上单调递增，故，.又，；，所以函数恰有三个零点.
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