2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）2.6《曲线与方程》word教案2篇.doc

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）2.6曲线与方程word教案2篇“曲线的方程与方程的曲线”的定义包括两个方面：一是曲线上点的坐标都是方程的解称为纯粹性；二是以方程的解为坐标的点都在曲线上称为完备性两者缺一不可，否则就容易导致失误例方程的曲线是（）两个点一个圆一条直线和一个圆两条射线和一个圆解析：有不少同学由原方程直接得或，从而误选（）以上解法忽视了定义域的限制，因此不符合轨迹的纯粹性事实上，直线上的点并不都适合该曲线（必须在圆上或圆外才行）故应选（）例2试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹解析：设为轨迹上任意一点，则当，时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线；当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线；当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线；当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线（曲线如右图）评注：求轨迹的方程时，如果在轨迹条件解析化过程中忽视了方程变形的同解性，就可能破坏轨迹的纯粹性和完备性本题易犯以下两方面的错误：一、如将方程两边平方，化为，即，再两边平方得，即，从而误认为轨迹为四条直线，就破坏了轨迹的纯粹性这是因为方程中，化为后把的区域的一些点也包括进去了；二、如果将点到x轴的距离与到y轴的距离误认作y和x，得轨迹方程|，则不但会破坏轨迹的纯粹性，还会破坏轨迹的完备性失去轨迹的四条射线，同时多出两条线段（即以为端点的两条线段）例3过原点作直线与曲线交于A、B两点，求线段的中点的轨迹方程解析：设直线的方程为，把它代入曲线方程中，得，设，由根与系数的关系知，消去k，得，又由于直线与曲线有两个交点，所以，解得或由，得或从而可得，线段的中点的轨迹方程是（或）评注：求轨迹方程时，一定要清除“多余”，弥补“遗漏”，以保证相应轨迹的纯粹性与完备性精析“曲线与方程”一、曲线与方程的概念1对概念的理解平面直角坐标系建立以后，平面上的点，M与实数对（x，y）建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C，与之对应的实数对的变化，就形成了方程这样，在曲线与方程之间就形成了某种对应关系这种对应关系表现为：如果曲线C上的点与方程的实数解建立了如下关系曲线C上点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程的曲线曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一关系的两种不同表达形式因此，我们就可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线来研究方程，这就是解析几何处理问题的基本思想数与形的统一注意：在坐标系确定以后，曲线被它的方程惟一确定但曲线的方程不是惟一的，因为在同一坐标系下，还有同解方程2对概念在两种观点下的再认识 （1）以轨迹的观点认识“曲线与方程” 条件保证了曲线上所有的点都适合条件；条件保证了适合条件的所有点都在曲线上前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性、同时成立说明曲线C上符合条件的点既不能多也不能少，纯粹性和完备性同时成立才能保证曲线与方程间的相互转化 （2）以集合的观点认识“曲线与方程” 设集合，条件说明，条件说明若条件、同时成立，则可认为既有，又有，从而集合相等，即二、求曲线的方程的流程图流程图可简记为：注意：1建立适当的坐标系坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴作为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等2由条件列出方程根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式3求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等三、曲线的交点 求曲线的交点就是求这两条曲线的方程组成的方程组的实数解方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点若方程组无实数解，那么这两条曲线就没有交点因此两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解巧用条件 妙求椭圆方程已知曲线轨迹为椭圆求其方程时，常用待定系数法，在许多情况下，若恪守常规，常会导致过程繁琐，运算量增大，但如果对题目条件合理使用，对标准方程进行“改造”，常可避繁就简，事半功倍，现举几例，寻求椭圆方程的巧妙求法一改造设法之一：巧设，避免讨论例1求经过两点的椭圆标准方程分析：由条件，不能确定焦点在轴还是轴上，若直接设标准方程，需分两种情况讨论，则解答繁琐；若设方程为，则包含了上述两种情况，简化了解题过程，有效地避免了讨论解：设所求椭圆方程为，将A、B两点坐标代入得，解得，故所求椭圆方程为 点评：事实上，中，当时，椭圆焦点在轴上；当时，椭圆焦点在轴上二改造设法之二：利用共焦点椭圆系，巧设椭圆方程例2求经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程分析：当一组椭圆具有某一相同性质时，我们称之为椭圆系本题可用共焦点椭圆系方程求解解：设所求椭圆方程为，将M点坐标代入得，解得或（舍去），故所求椭圆方程为点评：与椭圆有相同焦点的椭圆系方程为且三改造设法之三：利用共离心率椭圆系，巧设椭圆方程例3求经过点且与椭圆有相同离心率的椭圆标准方程分析：离心率，可由与的比值确定，故一组椭圆中，无论焦点在轴还是轴上，只要比值相等，它们的离心率就相同本题可用共离心率椭圆系方程求解解：设所求椭圆方程为或，将M点坐标代入得或，解得或，故所求椭圆方程为或点评：与椭圆有相同离心率的椭圆系方程为(焦点在轴上)或（焦点在轴上）四改造求解过程，体会知识灵活运用例4求焦点为且过点的椭圆方程常规解法：设所求椭圆方程为，则由题意得，消去得，整理得，解得或（舍去，因此时），于是，故所求椭圆方程为改造解法一：设所求椭圆方程为，由定义得，即，平方整理得，因，则，故所求椭圆方程为改造解法二：由题意，所求椭圆与共焦点，则由例题2知，可设方程为，将点坐标代入得，解之得，故所求椭圆方程为点评：常规解法中联立方程组消元后，需要解一个4次方程，运算量较大，且容易出错；而改造解法中，法一巧妙地运用定义，避免了繁琐的运算，是一种可取的好方法；法二则运用共焦点椭圆系，简化了求解过程，也很巧妙