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4.1.1圆的标准方程【选题明细表】 知识点、方法题号圆的标准方程1,3,4,5,8,9点与圆的位置关系2,7圆的标准方程的应用6,10,11,121.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是(B)(A) (B)2 (C)2(D)2解析:由圆的标准方程可知,其半径为,周长为2.故选B.2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(A)(A)在圆外(B)在圆内(C)在圆上(D)不确定解析:把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+2524.所以点P在圆外,故选A.3.(2018湖北宜昌期末)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(A)(A)(x-1)2+(y-2)2=25(B)(x+1)2+(y+2)2=25(C)(x+1)2+(y+2)2=100(D)(x-1)2+(y-2)2=100解析:由题意可得,圆心为线段AB的中点C(1,2),半径为r=AB=5,故要求的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25,故选A.4.已知圆心为P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是(B)(A)(x-2)2+(y+3)2=4(B)(x+2)2+(y-3)2=4(C)(x-2)2+(y+3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=9解析:由题意知,该圆的圆心为(-2,3),半径为2,所以其标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.5.(2018江西赣州期末)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆的方程为(A)(A)(x-4)2+(y+1)2=1(B)(x+4)2+(y+1)2=1(C)(x+2)2+(y+4)2=1(D)(x-2)2+(y+1)2=1解析:由于圆心(1,2)关于直线x-y-2=0对称的点的坐标为(4,-1),半径为1,故圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=1,故选A.6.(2018河南濮阳一模)圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为.解析:圆x2+(y-1)2=1的圆心(0,1)到直线y=-x-2的距离为d=.答案:7.(2018江西师大附中高一测试)自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,切点为B,则AB的长为.解析:点A到圆心C(2,3)的距离为=,所以切线长为=3.答案:38.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3).(2)经过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径;(3)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(4)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5).解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25,因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6.所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意得a=1,b=-3,又因为点(6,-1)在圆上,所以r2=(6-1)2+(-1+3)2=29.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29.(3)法一设圆心为(a,-2a).因为圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以=,解得a=1.所以所求圆的圆心为(1,-2).半径r=.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.法二设过(2,-1)且与y=1-x垂直的直线为y=x+b,把(2,-1)代入,得b=-3.所以圆心(a,b)在y=x-3上,即b=a-3,又因为圆心在直线y=-2x上,所以b=-2a,解之得a=1,b=-2,则圆心为(1,-2),所以r=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(4)法一设点C为圆心,因为点C在直线:x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|.所以=,解得a=-2,所以圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法二设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由条件知所以故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法三线段AB的中点为(0,-4),kAB=,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即y=-2x-4,圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由得即圆心为(-1,-2),圆的半径r=.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.9.(2018内蒙古包头市一模)圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(C)(A)(x-)2+y2=(B)(x+)2+y2=(C)(x-)2+y2=(D)(x-)2+y2=解析:根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2.则有解得a=,r2=,所以圆E的方程为(x-)2+y2=.故 选C.10.(2018河南鹤壁高一期末)如果实数x,y满足x2+(y-3)2=1,那么的取值范围是(D)(A)2,+)(B)(-,-2(C)-2,2(D)(-,-22,+)解析:因为实数x,y满足x2+(y-3)2=1,所以表示以(0,3)为圆心,1为半径的圆上的点和原点连线的斜率k,设直线方程为y=kx,联立x2+(y-3)2=1和y=kx消去y并整理可得(1+k2)x2-6kx+8=0,由 =36k2-32(1+k2)=0可解得k=2,结合图形可知的取值范围是(-,-22,+).11.如图所示,一座圆拱桥,当水面在如图位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少m?解:如图,拱顶O为坐标原点,设圆的半径为r m,则圆心C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2. 将A点的坐标(6,-2)代入方程解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),将A的坐标(x0,-3)代入方程,解得x0=.所以水面下降1 m后,水面宽为2x0=214.28 m.12.已知圆C的圆心坐标为C(x0,x0),且过定点P(4,2).(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示);(2)当x0为何值时,圆C的面积最小?并求出此时圆C的标准方程.解:(1)由题意,设圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r0).因为圆C过定点P(4,2),所以(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r0),所以r2=2-12x0+20.所以圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.(2)因为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,所以当x0=3时,圆C的半径长最小,即面积最小,此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.
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