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二 极坐标系 1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数(3)极坐标与直角坐标的区别与联系直角坐标极坐标区别点与直角坐标是“一对一”的关系由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一因此点与极坐标是“一对多”的关系联系直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数2极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位(2)互化公式点的极坐标例1已知点Q(，)，分别按下列条件求出点P的极坐标(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线的对称点思路点拨确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义解(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|OQ|，极角相差(2k1)(kZ)所以点P的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由P，Q关于直线对称，得它们的极径|OP|OQ|，点P的极角满足2k(kZ)，所以点P的坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)设点M的极坐标是(，)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(，)或(，)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(，)或(，)另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的1与极坐标不表示同一个点的极坐标是()A.B.C. D.解析：选B根据极坐标(，)与(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)在极坐标系中表示同一个点，可知只有与表示的不是同一个点的极坐标另外，也可画出点在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行检验2在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线的对称点的极坐标(规定0，0,2)解：作出图形，可知A关于直线的对称点是.点的极坐标与直角坐标的互化例2(1)把点A的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，)化成极坐标(0，0,2)思路点拨依据极坐标与直角坐标互化的公式解题解(1)设A(x，y)，则x2cos，y2sin1，故点A的直角坐标为(，1)(2)2，tan .又因为点P在第四象限且00)，点P的直角坐标为(1,1)，|OP|，故选A.二、填空题5极点的极坐标为_解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，)(R)答案：(0，)(R)6在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|_.解析： |AB| .答案：7直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角的大小为_解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，AOB，所以OAB，所以ACO.答案：三、解答题8在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标解：设M(r,0)，因为A，所以 5，即r28r70.解得r1或r7.所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)9(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标(2)已知点的直角坐标分别为A(，)，B，C，求它们的极坐标(0,02)解：(1)根据xcos ，ysin ，得A，B(1，)，C，D(3，3)(2)根据2x2y2，tan ，得A，B，C.10在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，)，C.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积解：(1)如图，由A，B，C，得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC.所以AOBBOCAOC，所以|AB|BC|CA|，故ABC为等边三角形(2)由上述可知，|AC|2|OA|sin 222.所以SABC223.
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