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专题跟踪检测（七） 三角恒等变换与解三角形一、全练保分考法保大分1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，c2，cos A，则b()A.B.C2 D3解析：选D由余弦定理得522b222bcos A，cos A，3b28b30，b3.2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a6，b4，C120，则sin B()A.B.C. D解析：选B在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C76，所以c.由正弦定理得，所以sin B.3已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为()A. B1C. D2解析：选Ca2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A.A为ABC的内角，A60，SABCbcsin A4.4(2019届高三洛阳第一次统考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A. B.C. D.解析：选B由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得cos A，因为A为ABC的内角，所以A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2Bsin Asin Csin C，由正弦定理得，.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B.C. D.解析：选B在ABC中，sin Bsin(AC)，则sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，即sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，cos Asin Csin Asin C0，sin C0，cos Asin A0，即tan A1，所以A.由得，sin C，又0C，C.6在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1 B.C. D2解析：选A在ABC中，tanBAC3，sinBAC，cosBAC，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，BC3.SABCABACsinBAC，BC边上的高为1.7(2018开封模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan Bbtan A2ctan B，且a5，ABC的面积为2，则bc的值为_解析：由正弦定理及btan Bbtan A2ctan B，得sin Bsin B2sin C，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，亦即sin(AB)2sin Ccos A，故sin C2sin Ccos A.因为sin C0，所以cos A，所以A.因为SABCbcsin A2，所以bc8.由余弦定理，知a2b2c22bccos A(bc)23bc，可得bc7.答案：78(2018福州模拟)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到0.1)参考数据： 1.414, 2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.69(2018长春质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积Sb2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD，a，则b_.解析：由面积公式Sbcsin Ab2sin A，可得c2b，即2.由a，并结合角平分线定理可得，BD，CD，在ABC中，由余弦定理得cos B，在ABD中，cos B，即，化简得b21，解得b1.答案：110(2018昆明调研)已知ABC的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解：(1)因为SABC62sinACB3，所以sinACB，ACB30或150，又ADC45，所以ACB150，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，即，解得CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).11(2018沈阳质检)在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B2ab.(1)求角C的大小；(2)若ab6，ABC的面积为2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B2sin Asin B，又sin Asin(BC)，2sin Ccos B2sin(BC)sin B，2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，2sin Bcos Csin B0，sin B0，cos C.又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28，c2.12(2018长沙模拟)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求角A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围解：(1)ABC，cos(BC)cos A3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A又sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，将代入已知等式，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC为锐角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，(0，)，c(1,4)，SABCbcsin Ac，SABC.故ABC面积的取值范围为.二、强化压轴考法拉开分1(2018成都模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2Asin2C)(ab)sin B，ABC的外接圆半径为.则ABC面积的最大值为()A. B.C. D.解析：选D由正弦定理，得2，所以sin A，sin B，sin C，将其代入2(sin2Asin2C)(ab)sin B得，a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C，所以C.于是SABCabsin C2sin A2sin Bsin3sin Asin Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)cos Ccos(AB).当AB时，SABC取得最大值，最大值为，故选D.2(2019届高三南宁二中、柳州高中联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccos A0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2 B2C3 D3解析：选A法一：由题意可得，sin B2sin Ccos A0，即sin(AC)2sin Ccos A0，得sin Acos C3sin Ccos A，即tan A3tan C.又cos A0.从而tan Btan(AC)，由基本不等式，得3tan C2 2，当且仅当tan C时等号成立，此时角B取得最大值，且tan Btan C，tan A，即bc，A120，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.法二：由已知b2ccos A0，得b2c0，整理得2b2a2c2.由余弦定理，得cos B，当且仅当ac时等号成立，此时角B取得最大值，将ac代入2b2a2c2可得bc.又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.3(2019届高三惠州调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4,6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_解析：在ABC中，由正弦定理得，即，c8cos A，由余弦定理得16b2c22bccos A，16b264cos2A16bcos2A，又b4，cos2A，c264cos2A64164B.b(4,6)，32c240，4c2.答案：(4，2)4(2018潍坊模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且，则ABC面积的最大值为_解析：因为，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.设外接圆的半径为r，则r1，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc.当且仅当bc时，等号成立，又因为a2rsin A，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.答案：5(2018陕西质检)已知ABC 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，若ab2，则c的取值范围为_解析：由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，则由(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，则C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c.因为A，所以A，所以sin，则c1,2)答案：1,2)6(2018南昌模拟)如图，平面上有四个点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且AB，P，Q为动点，满足关系APPQQB1，若APB和PQB的面积分别为S，T，则S2T2的最大值为_解析：设PB2x，则12x2，x1，T22x2(1x2)，cosPAB，sin2PAB12，S221(1x2)2，S2T2(1x2)2x2(1x2)，令1x2t，则x21t,0t，S2T2t2(1t)t2t2t，其对称轴方程为t，且，当t时，S2T2取得最大值，此时S2T22.答案：三、加练大题考法少失分1.(2019届高三洛阳联考)如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC60，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB的面积是，求sinBAP.解：(1)在APC中，PAC60，PC2，APAC4，由余弦定理得PC2AP2AC22APACcosPAC，所以22AP2(4AP)22AP(4AP)cos 60，整理得AP24AP40，解得AP2，所以AC2，所以APC是等边三角形，所以ACP60.(2)由于APB是APC的外角，所以APB120，因为APB的面积是，所以APPBsinAPB，所以PB3.在APB中，由余弦定理得AB2AP2PB22APPBcosAPB2232223cos 12019，所以AB.在APB中，由正弦定理得，所以sinBAP.2(2018开封模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a24S3b23c2.(1)求A；(2)若a3，求ABC周长的取值范围解：(1)Sbcsin A，由已知得，b2c2a2Sbcsin A，cos Asin A，tan A，又A(0，)，A.(2)在ABC中，由正弦定理得，2，b2sin B，c2sin C2sin，记ABC周长为y，yabc2sin B2sin32sin B23sin B3cos B32sin3，B，sin，y(6,32，ABC周长的取值范围是(6,323. (2018淄博模拟)在ABC中，BAC，D为边BC上一点，DAAB，且AD.(1)若AC2，求BD；(2)求的取值范围解：(1)因为BAC，BAD，所以CAD，在DAC中，由余弦定理知CD2AC2AD22ACADcos，得CD，从而cosADC.或用正弦定理求得sinADC所以cosADB.在RtDAB中，BD，所以所求BD的长为.(2)设ADB，则ACD，在RtDAB中，cos ，在DAC中，由正弦定理知2sin.于是cos 2sinsin .由题设知，故sin 1，因此所求的取值范围为.4设函数f(x)sin x(cos xsin x).(1)求函数f(x)的最大值，并求此时的x值；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)1，且2bsin B2csin Cbca，求a的值解：(1)由题意可得f(x)sin xcos xsin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取得最大值为1.(2)A(0，)，2A.又f(A)sin1，2A，A.根据正弦定理，得sin B，sin C.2bsin B2csin Cbca，2b2cbca，(b2c2a2)abc，2bccos abc，a.
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