2019-2020年中职职高数控铣专业第2章数控编程中的数学处理2学时教案讲义.doc

2019-2020年中职职高数控铣专业第2章数控编程中的数学处理2学时教案讲义本章重点：基点、节点的概念本章难点：节点坐标的计算第3讲 2学时教学内容:2.1程序编制中的基点和节点。2.2程序编制中的误差。2.3非圆曲线的直线逼近方法。2.4非圆曲线的圆弧逼近方法。2.1 数控编程中数值计算的内容根据零件图样要求,按照已确定的加工路线和允许的编程误差,计算出机床数控系统所需输入的数据,称为数控编程的数值计算.对于带有自动刀补功能的数控装置来说,通常要计算出零件轮廓上一些点的坐标数值。2.1.1数控编程中数值计算的内容1.基点零件的轮廓曲线一般是由许多不同的几何元素组成的，如直线、圆弧、二次曲线等。通常将各个几何元素间的连接点称为基点。如两条直线的交点、直线与圆弧的交点或切点、圆弧与圆弧的交点或切点、圆弧与二次曲线的交点或切点等。2.节点一般数控系统都具有直线和圆弧插补功能，当零件的轮廓为非圆曲线时，常用连续的直线段或圆弧段逼近零件轮廓曲线，逼近直线或逼近圆弧与非圆曲线的交点或切点称为节点. 3.刀具中心轨迹的计算对于不具有刀具补偿功能的数控机床，如某些经济型的数控机床，必须计算刀具中心轨迹。4.辅助计算辅助计算包括增量计算、脉冲数计算和辅助程序段的数值计算。不同的数控系统辅助计算的内容和步骤也不尽相同。（1） 增量计算 绝对坐标编程时，一般不需要计算增量值。用增量坐标编程时，输入的终点坐标是相对于本次运动起点的增量值；对于圆弧段，当用起点、终点、圆心坐标编程时，需计算圆弧终点相对于起点的坐标增量以及圆弧的圆心相对于圆弧起点的坐标增量值。（2）脉冲数计算 进行数值计算时，单位通常是毫米，其数据常带有小数点。对于开环系统来说，要求输入的数据是以脉冲为计量单位的整数，因此，应将计算出的坐标数据换算成为脉冲数（坐标数据除以脉冲当量），即进行脉冲数计算。对于闭环或半闭环系统，则可直接输入带小数点的数据。（3）辅助程序段的数值计算 指由对刀点到切入点的切入程序，由零件切削终点返回到对刀点的切出程序，以及无尖角过渡功能数控系统的尖角过渡程序等所需的数值计算。2.1.2程序编制中的允许误差确定程序编制的允许误差，不仅为制定加工方案提供了重要的依据，还对工艺准备工作中的某些要求（如夹具的定位、刀具的对刀等）提供了较为具体的参考数据。1.数控加工误差在数控加工中，其加工误差加将由多种误差决定：加f（编，控，伺，刀，定） (2-1)其中编程序编制误差；控数控装置系统误差；伺伺服驱动系统误差；刀对刀误差；定工件的定位误差。2.程序编制误差通常所说的程序编制误差编，主要由以下两项误差决定：编f（拟，计） （2-2）式中拟为用直线或圆弧拟合零件轮廓曲线时所产后的误差；为在数学处理中，由计算过程而产生的数值计算误差。3.程序编制中的允许误差在数控加工误差中，由于数控装置系统误差一般极小，可忽略不计，对刀误差可通过自动补偿等给予排除，因此伺服系统误差和工件的定位误差占数控加工误差的比例很大，所以程序编制误差编允许占数控加工误差加的比例较小。确定程序编制允许误差允的途径，主要是通过按一定比例压缩其工件公差T工而实现的。在数控加工实践中，一般取允为工件公差的1/3左右，对精度要求较高的工件，则取其工件公差的1/101/15。2.2 由直线和圆弧组成的零件轮廓的基点计算平面零件轮廓曲线多由直线和圆弧组成，大多数数控机床都具有直线和圆弧插补功能、刀具半径补偿功能，因此只需计算出零件轮廓的基点坐标即可。计算时，首先选定零件坐标系的原点，然后列出各直线和圆弧的数学方程，求出相邻几何元素的交点或切点即可。对于直线，均可化为一次方程的一般形式 （2-3）对于圆弧，均可化为圆的标准方程 （2-4）式中，、为圆弧的圆心坐标，R为圆弧半径。解上述直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧联立的方程组，即可求出相关的基点坐标。当数控装置没有刀补功能时，需要计算出刀具中心轨迹上的基点坐标。这时，可根据零件的轮廓和刀具半径求零件轮廓的等距线。直线的等路线方程为 （2-5）同心圆的方程为 （2-6）式中，为刀具半径。解上述相关等距线方程联立的方程组即可求出刀心轨迹的基点坐标。2.3直线逼近非圆曲线的节点计算平面轮廓除了直线和圆弧外，还有椭圆、双曲线、抛物线、阿基米德螺旋线等函数曲线。对于这类曲线，无法直接用直线、圆弧插补指令进行加工，而常用直线段或圆弧段逼近曲线，因此需计算出相邻二逼近直线或圆弧的节点坐标。用直线逼近非圆曲线的常用数学方法有三种：等间距法、等步长法和等误差法。2.3.1等间距法 等间距法就是将某一坐标轴划分为相等的间距，然后求出曲线上相应的节点，将相邻节点连成直线，用这些直线段组成的折线代替原来的轮廓曲线。如图所示，沿X轴方向取等间距x，已知曲线方程为yf（x）。由起点开始，设起点为（x0，y0），则x1x0x，将x1代入yf（x）得到y1，则（x1，y1）即为求出的逼近直线的第一个节点。根据xixi-1i.x依次求出yif（xi）得到一系列节点坐标。x的取值应保证各逼近直线段与曲线yf（x）间的最大法向距离小于编程允许误差允。一般先取x=0.1试算出节点坐标，然后选择曲线上曲率最大的曲线段进行逼近误差校验。 2.3.2等步长法等步长直线逼近即所有逼近线段的长度都相等，如图所示。计算步骤如下：1.求Rmin：已知曲线方程为yf（x），由于曲线各处的曲率不等，等步长逼近后最大逼近误差max必然产生在曲率最大的地方，也即曲率半径最小的地方。曲线上任一点的曲率半径为 （2-10）令，得 （2-11）将yf（x）、y、y、ym代入可求得x，将x代入式（2-4）即可求得Rmin。Rmin为曲线上最小曲率半径。2. 确定允许的步长L:如图2.2所示，在给定的允许误差下的步长L为： (2-12)3.求节点坐标：以曲线起点a为圆心，以步长L为半径作圆与曲线相交于b点，求联立方程组 (2-13)可求得。4. 顺序以b、c为圆心，重复步骤3)，即可求得其余各节点的坐标值。等步长法计算过程简便，常用于曲率变化不大的轮廓曲线的节点计算。2.3.3等误差法该方法使得所有逼近线段的误差相等，以相等的误差来确定各插补段的步长。如图2.3所示。设零件轮廓曲线方程为yf（x），计算步骤如下：1.作允差圆 以起点a为圆心，以允许误差为半径作圆，称为允差圆。其方程为 (2-14)2.求允差圆与曲线的公切线PT，点分别为该圆和曲线的公切线的切点，则切线的斜率K为 (2-15)为求、，需求解联立方程组 (2-16) 其中,为允差圆方程。3. 过起点a 作直线ab，使ab平行于公切线PT，交曲线于b点，则直线ab的方程为： (2-17)4.求下面联立方程组的解，即可得节点坐标 (2-18)5.以b点为圆心，以允许误差为半径作圆交曲线于c点，重复上述步骤依次求得c、d、e各节点坐标。利用等误差法，程序段数目最少，但计算过程较复杂。适用于复杂形状的零件以及曲率变化较大的轮廓曲线的节点计算。2.4 圆弧逼近非圆曲线的节点计算常用的用圆弧逼近非圆曲线的节点计算方法有两种：圆弧分割法和三点圆作图法。本节仅介绍圆弧分割法。圆弧分割法应用在曲线yf（x）为单调的情况下，若不是单调曲线，可以在拐点处将曲线分段，使每段曲线为单调曲线。如图所示，用圆弧分割法进行节点计算的方法与步骤如下：1.求轮廓曲线yf（x）起点（xn，yn）的曲率圆。其半径为 (2-19)圆心坐标为 (2-20) 2.求以（n，n）为圆心，以Rn允为半径的圆与曲线yf（x）的交点解联立方程 (2-21)得到（x，y）值，即为圆弧与yf（x）的交点（xn+1，yn+1）。式中，当轮廓曲线曲率递减时，取Rn允为半径；当轮廓曲线曲率递增时，取Rn允为半径。重复以上步骤依次算妯分割轮廓曲线的各节点坐标。3. 求出上两相邻节点间逼近圆弧的圆心所求两节点间的逼近圆弧是以为始点，以为终点，以为半径的圆弧。分别以和为圆心，以为半径作两个圆，两圆弧的交点就是所求的圆心坐标。即由联立方程 (2-22)解得的即为所求逼近圆弧的圆心坐标。本章小结 根据零件图样要求,按照已确定的加工路线和允许的编程误差,计算出机床数控系统所需输入的数据,称为数控编程的数值计算。数值计算的内容有基点坐标的计算、节点坐标的计算、刀具中心轨迹的计算、辅助计算。 直线和圆弧组成的零件轮廓的基点计算采用初等几何的方法，非圆曲线的节点计算有直线逼近法、圆弧逼近法。用直线逼近非圆曲线的常用数学方法有三种：等间距法、等步长法和等误差法。常用的用圆弧逼近非圆曲线的节点计算方法有两种：圆弧分割法和三点圆作图法。对列表曲线进行数学处理时，常用数学拟合的方法逼近零件轮廓，即根据已知列表点（也称型值点）来推导出用于拟合的数学模型 程序编制误差， 为用直线或圆弧拟合零件轮廓曲线时所产后的误差，为在数学处理中，由计算过程而产生的数值计算误差。数控加工误差，其中为数控装置系统误差；伺服驱动系统误差；对刀误差；工件的定位误差。程序编制允许误差，主要是通过按一定比例压缩其工件公差T工而实现的。在数控加工实践中，一般取程序编制的允许误差为工件公差的1/3左右，对精度要求较高的工件，则取其工件公差的1/101/15。