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第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P3741，思考并完成以下问题 1椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长，短轴长焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0eb0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)(2)(3)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3，B10,6，C5,3， D10,6，答案：B3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案：D4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案：由标准方程研究几何性质典例求椭圆x29y281的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解把已知方程化成标准方程为1，于是a9，b3，c6，所以椭圆的长轴长2a18，短轴长2b6，离心率e.两个焦点的坐标分别为F1(6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(9,0)，A2(9,0)，B1(0，3)，B2(0,3)用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍 活学活用已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e；(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.利用几何性质求标准方程典例求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.椭圆方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；(2)过点(3,0)，离心率e；(3)过点M(1,2)，且与椭圆1有相同离心率解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知解得a5，b4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为1或1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意，得a3，因为e，所以c，从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意，得b3，因为e，所以，把b3代入，得a227，所以椭圆的标准方程为1.综上可知，所求椭圆的标准方程为1或1.(3)设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率典例设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.B.C.D.解析法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案D一题多变1变条件若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求C的离心率解：在PF1F2中，PF1F245，PF2F175，F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，椭圆的长轴长为2a，则在PF1F2中，有，e.2变条件，变设问若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C上存在点P，使F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围解：由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2，e.故C的离心率的取值范围为.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 层级一学业水平达标1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同 DC1与C2焦距相等解析：选D由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.2焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：选A依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程是1.3若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A依题意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A.4与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.1 Bx21C.y21 D.1解析：选B椭圆9x24y236可化为1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)，故可设所求椭圆方程为1(ab0)，则c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x21.5已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选D2，|2|.又POBF，即，e.6若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_解析：椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，2，m.答案：7已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(5,4)，则椭圆的方程为_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.设椭圆的标准方程为1(a0)，椭圆过点P(5,4)，1.解得a245.椭圆方程为1.答案：18设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_解析：设A(m，n)由5 ，得B.又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以点A的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，.由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故椭圆C的标准方程为1.10椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2y22.y2axx2.又P点在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a2.又0e1，eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，c2b，ab，e.3(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .4若O和F分别为椭圆1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C由题意得点F(1,0)设点P(x0，y0)，则有1，可得y3.(x01，y0)，(x0，y0)，x0(x01)yx0(x01)3x03.此二次函数的图象的对称轴为直线x02.又2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为236.5过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c1，将x1代入1，得1，解得y2，即y，所以最短弦的长为23.答案：4,36已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2.将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为e0，所以e.答案：7已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1，0)，(1,0)，.8设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|3|F1B|. (1)若|AB|4，ABF2 的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.
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