2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 7 正切函数学案 北师大版必修4.doc

7正切函数学习目标1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出ytan x的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.知识点一正切函数的定义思考1设角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？答案当a0时，有意义.思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案tan .梳理(1)任意角的正切函数如果角满足：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k，kZ.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan (R，k，kZ).(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负.知识点二正切线思考正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0).梳理如图所示，线段AT为角的正切线.知识点三正切函数的图像与性质思考1正切函数的定义域是什么？答案.思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数？答案不能.正切函数ytan x在每段区间(kZ)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.梳理解析式ytan x图像定义域值域R周期最小正周期是奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间(kZ)上是增加的知识点四正切函数的诱导公式思考前面我们学习过，2等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.对正切函数能适用吗？答案因为tan ，所以口诀对正切函数依然适用.梳理函数角ytan x记忆口诀ktan 函数名不变，符号看象限2tan tan tan tan cot 函数名改变，符号看象限cot 类型一正切函数的概念例1若角的终边经过点A，且tan ，则m .考点正切函数的定义题点已知正切值求参数答案解析由正切函数的定义得，解得m.反思与感悟(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan .(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a0)，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1已知点P(2a，3a)(a0)是角终边上的一点，求tan 的值.考点正切函数的定义题点由定义求正切值解由于a0，tan .类型二正切函数的图像及性质例2画出函数y|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由y|tan x|，得y其图像如图所示.由图像可知，函数y|tan x|是偶函数，递增区间为(kZ)，递减区间为(kZ)，周期为.反思与感悟(1)作出函数y|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)图像在x轴上方的部分；将函数yf(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练2将本例中的函数y|tan x|改为ytan|x|，回答同样的问题，结果怎样？考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由于ytan|x|其图像如下：由图像可知，函数ytan|x|是偶函数，递增区间为，(k为正整数)，递减区间为(k为负整数)和，不是周期函数.类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值.(1)7cos 2703sin 270tan 765；(2).考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解(1)原式7cos(18090)3sin(18090)tan(236045)7cos 903sin 90tan 4503112.(2)原式2.反思与感悟(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.跟踪训练3.考点同名诱导公式的综合应用题点同名诱导公式的综合应用解原式.1.函数ytan的最小正周期是()A. B.2 C. D.考点正切函数的周期性题点求正切函数的周期答案C解析最小正周期为T.2.函数f(x)tan的递增区间为()A.，kZB.(k，(k1)，kZC.，kZD.，kZ考点正切函数的单调性题点求正切函数的单调区间答案C3.在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()A.ytan x B.ycos xC.ytan D.ytan x考点正切函数的性质题点正切函数性质的综合答案C4.函数ytan x是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案A解析函数的定义域是，且tan(x)tan x，所以函数ytan x是奇函数.5.将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为 .(用“”连接)考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案tan 2tan 3tan 1解析tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，231，且ytan x在上是增加的，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 31的三角形的内角A的取值范围是()A. B. C. D.考点正切函数的单调性题点利用正切函数的单调性解不等式答案D解析因为A为三角形的内角，所以0A1，结合正切曲线得A.4.下列各点中，不是函数ytan的图像的对称中心的是()A. B. C. D.考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案C解析令2x，kZ，得x(kZ).令k0，得x；令k1，得x；令k2，得x.故选C.5.函数f(x)tan x (0)的图像的相邻两支截直线y所得的线段长为，则f的值是()A.0 B.1 C.1 D.考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像及应用答案A解析由题意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.6.下列关于函数ytan的说法正确的是()A.在区间上是增加的B.最小正周期是C.图像关于点成中心对称D.图像关于直线x成轴对称考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题答案B解析令kxk，解得kx0，得tan x1或tan x1.函数定义域为(kZ)，关于原点对称.f(x)f(x)lg lg lglg 10.f(x)f(x)，f(x)是奇函数.12.求函数ytan的定义域、周期、单调区间和对称中心.考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题解由k，kZ，得x2k，kZ.函数的定义域为.T2，函数的周期为2.由kk，kZ，解得2kxxsin x，所以当x时，ysin x与ytan x没有公共点，因此函数ysin x与ytan x在区间0，2内的图像如图所示，观察图像可知，函数ytan x与ysin x在区间0，2上有3个交点.15.设函数f(x)tan(x)，已知函数yf(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为，且图像关于点M对称，求f(x)的解析式.考点正切函数综合问题题点正切函数综合问题解由题意可知，函数f(x)的最小正周期T，即，2.从而f(x)tan(2x).函数yf(x)的图像关于点M对称，2k或k，kZ，即k或k(kZ).0，只能取.故f(x)tan.