2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1 周期现象 2 角的概念的推广学案 北师大版必修4.doc

1周期现象 2角的概念的推广学习目标1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示.知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？答案周而复始，重复出现.梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点四终边相同的角思考1假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？答案它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与60分别相隔了2个周角和1个周角.思考2如何表示与60终边相同的角？答案60k360(kZ).梳理终边相同角的表示一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和.1.终边与始边重合的角是零角.()提示终边与始边重合的角是k360(kZ).2.小于90的角是锐角.()提示锐角是指大于0且小于90的角.3.钝角是第二象限角.()4.第二象限角是钝角.()提示第二象限角不一定是钝角.类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？考点周期现象题点周期现象的应用解因为1小时60分钟125分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水1610160(升)，所以水车1小时内最多盛水160121 920(升).反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？考点周期现象题点周期现象的应用解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水1610160(升)，所以y16032x，为使水车盛800升的水，则有32x800，所以x25，即水车盛800升的水至少需要25分钟.类型二象限角的判定例2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.考点象限角、轴线角题点象限角解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.反思与感悟判断象限角的步骤(1)当0360时，直接写出结果.(2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.跟踪训练2(1)判断下列角所在的象限，并指出其在0360范围内终边相同的角.549；60；50336.(2)若是第二象限角，试确定2，是第几象限角.考点象限角、轴线角题点象限角解(1)549189360，549角为第三象限的角，与189角终边相同.60300360，60角为第四象限的角，与300角终边相同.50336216242360，50336角为第三象限的角，与21624角终边相同.(2)由题意得90k360180k360(kZ)，所以1802k36023602k360(kZ).故2是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.由得45k18090k180(kZ)，当k为偶数时，令k2n(nZ)，得45n36090n360(nZ)，故是第一象限角.当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得45180n36090180n360(nZ)，即225n360270n360(nZ)，故为第三象限角.综上可知，为第一或第三象限角.类型三终边相同的角例3在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角.考点终边相同的角题点终边相同的角解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ).(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练3写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.考点终边相同的角题点终边相同的角解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ.720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4，5，6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.例4写出终边在直线yx上的角的集合.考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ.因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ.故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ.反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练4写出终边在直线yx上的角的集合.考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；终边在yx(x0，解得k，故当k9时，240满足条件.9.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是 ；终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案|120k360，kZ315，45|45k360120k360，kZ解析终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ.终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ，取k0，1得315，45.故终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是315，45.终边落在阴影部分的角的集合是|45k360120k360，kZ.10.若k36045，kZ，则是第 象限角.考点象限角、轴线角题点象限角答案一或三解析k36045，kZ，k18022.5，kZ.当k为偶数，即k2n，nZ时，n36022.5，nZ，为第一象限角；当k为奇数，即k2n1，nZ时，n360202.5，nZ，为第三象限角.综上，是第一或第三象限角.三、解答题11.已知角的终边在直线xy0上.(1)写出角的集合S；(2)写出集合S中适合不等式360720的元素.考点终边相同的角题点终边相同的角解(1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.(2)由于360720，即36060n180720，nZ.解得n，nZ，所以n2，1，0，1，2，3.所以集合S中适合不等式360720的元素为602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.12.游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？(2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？(4)转60分钟时，你距离地面是多少？考点周期现象题点周期现象的应用解(1)是周期现象，周期12分钟.(2)转四圈需要时间为41248(分钟).(3)第一次距离地面最高需6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需123642(分钟).(4)因为60125，所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5400.5(米).13.已知180180，且角的终边与其7倍角的终边重合，求角.考点终边相同的角题点终边相同的角解角的终边与它的7倍角的终边重合.7k360(kZ)，k60(kZ).又180180，3k3(kZ)，当k分别取2，1，0，1，2时，对应的为120，60，0，60，120.四、探究与拓展14.设集合A|45k180，kZ|135k180，kZ，集合B|45k90，kZ，则()A.AB B.ABC.BA D.AB考点终边相同的角题点终边相同的角答案D解析对于集合A，45k180452k90或135k18045902k9045(2k1)90.kZ，2k表示所有的偶数，2k1表示所有的奇数，集合A|45n90，nZ，又集合B|45k90，kZ，AB.故选D.15.(2017山西平遥一中月考)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角(其中0180)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求，的值.考点终边相同的角题点任意角的综合应用解根据题意，可知14，14均为360的整数倍，故可设14m360，mZ，14n360，nZ，则180，mZ，180，nZ.由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2，2均为第二象限角.因为0180，所以022360，因为2，2均为钝角，即9022180，所以4590，4590.所以4518090，4518090，即m，n，m，nZ，又，所以mn，从而可得m2，n3，即，.