2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析) (IV).doc

2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析) (IV)一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.1.已知集合，则( )A. 2，+） B. 1，2 C. （1，2 D. （，1【答案】C【解析】【分析】由题意，可求出，进而求出，然后与取交集即可。【详解】由题意，故；等价于，故，则，故.故选C.【点睛】本题考查了集合的交集与补集，考查了不等式的求法，函数值域的求法，属于基础题。2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由z=-2i1-i=1-i，可求出的共轭复数及它的模。【详解】由题意z=-2i1-i=-2i1+i1-i1+i=-i1+i=1-i，则z=1+i，所以的模为12+12=2.故选A.【点睛】本题考察了复数的除法运算，共轭复数及复数的模的概念。3.下列命题中正确的是（ ）A. “x1”是“log2x+11”的充分不必要条件B. 若x0则xsinx恒成立C. 命题“x00,+,lnx0=x0-1”的否定是“x0,+,lnxx-1”D. 命题“若x2=2，则x=2或x=-2”的逆否命题是“若x2或x-2，则x22”【答案】B【解析】【分析】选项A是充要条件，选项B，可以构造函数，判断单调性进而可以证明结论成立，选项C和D分别写出否定和逆否命题即可判断都是错误的。【详解】对于A，充分性：当x1时，log2x+1log22=1，故充分性成立；必要性：由log2x+11=log22，则x+12，即x1，故必要性成立，所以A错误；对于B，令f(x)=x-sinx，f(x)=1-cosx0恒成立，f(x)=x-sinx在0，+单调递增，f(x)f(0)=0，xsinx,B为真命题；对于C，命题“x00,+,lnx0=x0-1”的否定是“x0,+,lnxx-1”，故C错误；对于D，命题“若x2=2，则x=2或x=-2”的逆否命题是“若x2且x-2，则x22”，故D错误。故答案为B.【点睛】本题考查了条件关系，命题和复合命题的真假判定、逆否命题、命题的否定，属于基础题。4.等比数列an中，a10=6，则数列log6an的前19项和等于( )A. 6 B. 9 C. 12 D. 19【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质，a1a2.a19=a1019=619，S19=log6a1+log6a2+.+log6a19=log6a1a2.a19=log6a1019可得到答案。【详解】由题意，a1a2.a19=a1019=619，则S19=log6a1+log6a2+.+log6a19=log6a1a2.a19=log6a1019=19.故答案为D.【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算法则，属于基础题。5.已知函数fx=3x+1x1,ax2xx1,ff0=3a，则flog3a=（ ）A. 8 B. 6 C. 3 D. 1【答案】C【解析】【分析】先求f0，再求ff0，即可解得，从而可得解.【详解】由函数fx=3x+1x0）个单位得到，则的最小值为（ ）A. 6 B. 56 C. 12 D. 512【答案】C【解析】【分析】由32sin2x+cos2x-12=32sin2x+1+cos2x2-12=sin2x+6，而y=sin2x的图象向左平移个单位后的解析式为y=sin2x+2，只需=12+kkN，0，即可求出的最小值为12.【详解】由32sin2x+cos2x-12=32sin2x+1+cos2x2-12=sin2x+6，所以fx=sin2x+6，函数y=sin2x的图象向左平移个单位后的解析式为y=sin2x+2，从而=12+kkN，0，有的最小值为12故选：C【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，三角函数图象的平移变换，属于基础题。7.已知M是ABC内的一点，且ABAC=43，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，则y+4xxy的最小值是（ ）A. 2 B. 8 C. 6 D. 3【答案】D【解析】【分析】由ABAC=43，BAC=30，可知bc=8，进而求出SABC=12bcsin30=2，从而x+y=1，而y+4xxy=1x+4y=1x+4y x+y=5+yx+4xy，利用基本不等式求最小值即可。【详解】ABAC=43，BAC=30，bccos30=43，化为bc=8SABC=12bcsin30=12812=21+x+y=2则x+y=1，而y+4xxy=1x+4y=1x+4y x+y=5+yx+4xy5+2yx4xy=5+4=9，当且仅当yx=4xy，即y=2x时取等号，故y+4xxy的最小值是9，故选：D【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题。8.设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列四个命题：若m/l,且m,则l；若m/l,且m/,则l/；若=l,=m,=n,则l/m/n；若=m,=l,=n,且n/,则m/l.其中正确命题的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线可能在平面内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由=n知，且，由及，=m，得nm，同理n，故m，命题正确，故选B.9.设x，y满足约束条件2xy0x+y1ya，若z=x+y的最大值为6，则x+ay的最小值为（ ）A. 4 B. 12 C. 3 D. 14【答案】D【解析】【分析】作出x，y满足约束条件yax+y12x-y0所表示的平面区域，直线z=x+y，经过点A时，目标函数取得最大值6，可求出的值，然后利用斜率求出yx+a的最大值即为x+ay的最小值。【详解】作出x，y满足约束条件yax+y12x-y0所表示的平面区域，由y=a2x-y=0解得Aa2,a，直线z=x+y，经过交点A时，目标函数取得最大值6，可得a2+a=6，解得=4，则yx+a=yx+4的几何意义是：可行域的点与（4，0）连线的斜率，由可行域可知（4，0）与B连线的斜率最大，由y=4x+y=1可得B（3，4），则yx+a的最大值为4，即x+ay的最小值为14.故选D【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。10.函数fx图像如图，在定义域2,内可导，且其导函数为fx，则不等式fxsinx0的解集为( )A. 4,03,34B. 2,43,34C. 4,34D. 2,40,334,【答案】B【解析】【分析】当x-2,0时，因为sinx0，则fxsinx0；当x0,时，因为sinx0，则fxsinx0等价于fx0，分别求解即可得到答案。【详解】当x-2,0时，因为sinx0，则fxsinx0，所以x-2,-4；当x0,时，因为sinx0，则fxsinx0等价于fx0，所以x3,34，故不等式fxsinx0的解集为-2,-43,34.故选B.【点睛】本题考查了不等式求解，考查了正弦函数的性质，考查了导函数与函数单调性的关系，属于中档题。11.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx=x-x2,0x22-xex,x2，若函数Fx=fx-m有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. -1e3,1e3 B. -1e3,00,14C. -1e3,0 D. -1e3,0【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数y=2-xexx2的图像的走向，从而确定其在2,3上单调递减，在3,+上单调递增，但是它一直落在x轴下方，当0x2时，很容易画出图象，进而可以画出函数fx在0,+的图象，因为fx是定义在R上的奇函数，所以函数Fx=fx-m有5个零点，等价于函数fx的图像与直线y=m有5个交点，观察图像可求出m的取值范围。【详解】对函数y=2-xexx2求导，则y=x-3ex，则y=2-xexx2在2,3上单调递减，在3,+上单调递增，最小值为2-3e3=-1e3，且图象一直在x轴下方；当0x2时，很容易画出对应的抛物线；故可画出fx在0,+的图象见下图，因为fx是定义在R上的奇函数，所以函数Fx=fx-m有5个零点，等价于函数fx的图像与直线y=m有5个交点，观察图像可知m的取值范围是-1e3,1e3，故选A.【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。12.已知函数fx=12e2x+aeexaex（其中aR,e为自然对数底数）在x=1处取得极小值，则的取值范围是（ ）A. ae C. ea0 D. ae【答案】B【解析】【分析】对函数fx求导，得到fx=ex+aex-e，若a0，满足在x=1处取得极小值，若a0，令fx=0，得x=1或ln-a，只需ln-a0，由fx0，得x1，由fx0，得x1fx在-,1上为减函数，在1,+上为增函数，则fx在x=1取得极小值；当a0时，令fx=0，得x=1或ln-a，为使fx在x=1取得极小值，则有ln-a1，-ea-e【点睛】本题考查了函数的极值，考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题。二填空题.13.已知直线y=kx+b，当x-3,4时，y-8,13，则此直线的方程为_（写成直线方程的斜截式形式）【答案】y=3x+1或y=3x+4【解析】【分析】分k0,k0时，函数y=kx+b单调递增，则-3k+b=-84k+b=13，解得k=3，b=1，直线方程为y=3x+1；当k0，a1009+a10100，a1009a10100成立的最大自然数n是_【答案】xx【解析】【分析】由题意知，a10090，a10100，公差d0，S20180，S20190，a1009+a10100，a1009a10100，a10100，公差d0，S2018=2018a1+a20182=2018a1009+a101020，S2019=2019a1+a20192=2019a10100成立的最大自然数n是xx.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，属于中档题。15.计算：tan1234cos2122sin12+1+tan171+tan28=_【答案】2【解析】【分析】由tan12-34cos212-2sin12=sin12-3cos122sin12cos12cos24，再利用二倍角公式和两角之差的正弦公式可化为2sin12-6012sin48=-4，而1+tan171+tan28=1+tan17+tan28+tan17tan28，利用tan45=tan17+28=tan17+tan281-tan17tan28，得到tan17+tan28=1-tan17tan28代入原式即可得到答案。【详解】原式=sin12-3cos122sin12cos12cos24+1+tan17+tan28+tan17tan28=2sin12-6012sin48+1+tan451-tan17tan28+tan17tan284+1+1=-2【点睛】本题主要考查倍角公式的应用，两角之和的正切公式、正弦公式的应用，要注意灵活运用。16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F下列命题正确的为_. 存在点E，使得A1C1/平面BED1F；对于任意的点E，平面A1C1D平面BED1F；存在点E，使得B1D平面BED1F；对于任意的点E，四棱锥B1BED1F的体积均不变【答案】【解析】E为棱CC1上的中点时，此时F也为棱AA1 上的中点，此时A1C1EF；满足A1C/平面BED1F，正确B1D平面BED1F，不可能存在点E，使得B1D平面BED1F ，错误连结D1B， 则D1B平面A1C1D，而B1D平面BED1F，平面A1C1D平面BED1F，成立，正确四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1BB1F+VD1B1BF， 设正方体的棱长为1，无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为121112 为定值，三棱锥D1BB1E的高D1C1=1，保持不变三角形BB1F的面积为121112为定值，三棱锥D1BB1F的高为D1A1=1，保持不变三棱锥D1BB1E和三棱锥D1BB1F体积为定值，即四棱锥B1BED1F的体积等于VD1BB1F+VD1B1BF 为定值，正确故答案为：三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AC=3DC（）若DAC=6，求角B的大小；（）若BD=2DC，且AD=23，求DC的长【答案】（I）B=60；（II）2.【解析】【分析】（1）先根据正弦定理求得sinADC，由此得到ADC的值，进而求得C，在直角三角形ABC中求得B的大小.（2）设DC=x，利用DC表示出AB,BD，求得sinB,cosB的值，利用余弦定理列方程，解方程求出x，也即求得DC的值.【详解】（1）在ADC中，根据正弦定理，有ACsinADC=DCsinDAC，AC=3DC，sinADC=3sinDAC=32，又ADC=B+BAD=B+600600，ADC=1200，于是C=1800-1200-300=300，B=600.（2）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=3x，于是sinB=ACBC=33，cosB=63，AB=6x，在ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB，即(23)2=6x2+4x2-26x2x63=2x2，x=6，故DC=6.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.18.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，ED/PA，且PA=2ED=2（）证明：平面PAC平面PCE；（）若直线PC与平面ABCD所成的角为4，求二面角PCED的余弦值【答案】（1）见解析；（2）64【解析】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O，设PC中点为F，连接OF，EF，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BDEF，再证明BD平面PAC，从而可得EF平面PAC，进而可得平面PAC平面PCE；（2）以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出平面PCE与平面CDE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点O，设PC中点为F，连接OF，EF因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OFPA，且OF=12PA，因为DEPA，且DE=12PA，所以OFDE，且OF=DE 所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD因为ABCD是菱形，所以BDAC 因为PAAC=A，所以BD平面PAC因为BDEF，所以EF平面PAC 因为FE平面PCE，所以平面PAC平面PCE（2）解法：因为直线PC？与平面ABCD所成角为45， 所以PCA=45，所以AC=PA=2 所以AC=AB，故ABC为等边三角形设BC的中点为M，连接AM，则AMBC 以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz（如图）则P0,0，2，C3,1，0，E0,2，1，D0,2，0，CE=-3,1，1，i=15(xi-x)2=(-3)2+(-1)2+02+12+32=25，设平面PCE的法向量为n=x1,y1,z1，则nPC=0,nCE=0,即3x1+y1-2z1=0,-3x1+y1+z1=0.令y1=1,则x1=3,z1=2.所以n=3,1,2 设平面CDE的法向量为m=x2,y,2z2，则mDE=0,mCE=0,即z2=0,-3x+2y2+z2=0.令x2=1,则y2=3,z2=0.所以m=1,3,0 设二面角P-CE-D的大小为，由于为钝角，所以cos=-cosn,m=-nmnm=-23222=-64所以二面角P-CE-D的余弦值为-64 【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知数列an满足a1=1,an+1=n+1nan+n+12n(1)设bn=ann，求数列bn的通项公式（2）求数列an的前n项和Sn【答案】（1）bn=212n1（2）Sn=nn+14+n+22n1【解析】【分析】（1）由an+1=n+1nan+n+12n得到an+1n+1=ann+12n，即bn+1=bn+12n，用累加法可以得到bn=1+12+122+.+12n-1=2-12n-1；（2）由bn=ann得到an=2n-n2n-1，用分组求和可以得到an的前n项和Sn.【详解】（1）因为a1=1,an+1=n+1nan+n+12n所以an+1n+1=ann+12n即bn+1=bn+12n则b2-b1=12，b3-b2=122，bn-bn-1=12n-1，以上各式相加得：bn-b1=12+122+.+12n-1故bn=1+12+122+.+12n-1=1-12n1-12=2-12n-1（2）由（1）可知an=2n-n2n-1设2n与n2n-1的前n项和分别为Rn,Tn则Rn=2+4+6+.+2n=n2+2n2=nn+1Tn=120+221+322+.+n2n-112Tn=121+222+323+.+n-12n-1+n2n两式相减得12Tn=1+12+122+.+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n所以Tn=4-n+22n-1，所以Sn=Rn-Tn=nn+1-4+n+22n-1【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，分组求和求数列的前n项和，及错位相减求数列的前n项和，属于中档题。20.（1）已知函数fx=x+22x1，解不等式fx1；（2）光线沿直线l1:x2y+5=0射入，遇直线l:3x2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程. （把最后结果写成直线的一般式方程）【答案】（1）xx3或x13.（2）29x2y+33=0.【解析】【分析】（1）对fx去绝对值得到fx=x-4，x-23x，-21，然后分类讨论解不等式fx1即可；（2）先求出l1与的交点M，然后取直线x-2y+5=0上一点P(5，0)，求出P关于直线l的对称点P0，进而求出直线P0M的方程即为所求。【详解】（1）fx=x-4，x-23x，-21，当x-2时，x-41，x5，x-2；当-2x1时，3x1，x13，-21时，-x+41，x3，x3.综上，不等式的解集为xx3或x13. (2)由x-2y+5=03x-2y+7=0得x=-1y=2反射点M的坐标为(1，2).又取直线x-2y+5=0上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P0x0,y0，由PPl可知，kPP=-23=y0x0+5.而PP的中点Q的坐标为x0-52,y02，又Q点在上，3x0-52-2y02+7=0.由y0x0+5=-2332x0-5-y0+7=0得x0=-1713y0=-3213根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了直线的方程，点关于直线的对称问题， 属于中档题。21.已知函数f(x)=3x+3xR（1）是否存在实数使得f(x)为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由；（2）在（1）的结论下，若不等式f4t1+f2tm0在t1,1上恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）mf(m-2t)，从而4t-1m-2t，即m0，则f(x)在R上为增函数，f(x)为奇函数，f(4t-1)+f(2t-m)0，即f(4t-1)f(m-2t)， 又f(x)在R上为增函数，4t-1m-2t，则m4t+2t-1=(2t)2+2t-1,(t-1,1)恒成立，令2t=n12,2，则mn2+n-1=(n+12)2-54， 令g(n)=(n+12)2-54，g(n)min=-14，m0且a12时，fx有2个极值点；当a=12时，fx没有极值点.2结合函数的定义域可知，原问题等价于aex-x2-1x对x0恒成立.设gx=ex-x2-1x，则gx=x-1ex-x-1x2.讨论函数g(x)的最小值.设hx=ex-x-1，结合h(x)的最值可得gx在0,1上单调递减，在1,+上单调递增，gxg1=e-2，的取值范围是-,e-2.试题解析：1 fx=xex-2ax=xex-2a.当a0时，fx在-,0上单调递减，在0,+上单调递增，fx有1个极值点；当0a12时，fx在-,0上单调递增，在0,ln2a上单调递减，在ln2a,+上单调递增，fx有2个极值点；当a0时，fx有1个极值点；当a0且a12时，fx有2个极值点；当a=12时，fx没有极值点.2由fx+exx3+x得xex-x3-ax2-x0.当x0时，ex-x2-ax-10，即aex-x2-1x对x0恒成立.设gx=ex-x2-1x，则gx=x-1ex-x-1x2.设hx=ex-x-1，则hx=ex-1.，在上单调递增，即，在上单调递减，在上单调递增，的取值范围是.