2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1 垂直关系的判定学案 北师大版必修2.doc

6.1垂直关系的判定学习目标1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点).知识点一直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言【预习评价】(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.(2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？提示不变，90.(3)下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内一条直线垂直，则l；若直线l与平面内两条直线垂直，则l；若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l；若直线l与平面内无数条直线垂直，则l.A.1 B.2 C.3 D.4解析对，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确的是，故选B.答案B知识点二二面角概念一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.图示平面角文字以二面角的棱上任一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OA，OB，l，Ol，OAl，OBlAOB是二面角的平面角范围0180规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角记法棱为l、面分别为，的二面角记为l.如图所示，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.【预习评价】(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关.如图，OAl，OBl，OAl，OBl，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.(2)平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？提示二面角的平面角.知识点三平面与平面垂直1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.2.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.3.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l，l【预习评价】(1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？提示都是垂直.(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定.平行，相交，垂直都有可能.(3)已知l，则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个.答案C题型一线面垂直的判定【例1】如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.规律方法证明线面垂直的方法：(1)由线线垂直证明线面垂直：定义法；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.【训练1】如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，SDSD，所以ADSBDS，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC.题型二面面垂直的判定【例2】如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA圆O所在的平面，AFPC于F，求证：平面AEF平面PBC.证明因为AB为圆O的直径，所以BCAC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为PAACA，所以BC平面PAC.而AF平面PAC，所以BCAF.又AFPC，BCPCC，所以AF平面PBC.又因为AF平面AEF，所以平面AEF平面PBC.规律方法1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些.2.证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角.【训练2】已知三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01).(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?(1)证明BCD90，BCCD.AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.(01)，EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.故不论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)解由(1)，得EF平面ABC，BE平面ABC，EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.BCD90，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ADB60，AB，AC，BE，AE，.故当时，平面BEF平面ACD.【探究1】如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小.(1)证明连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD.又ABCD，所以BEAB.因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.又PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角.在RtPAB中，tanPBA，所以PBA60.故二面角ABEP的大小是60.【探究2】如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB2，PABC1.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)求二面角PBCA的大小.(1)证明A，B，C在O上，O所在平面可记为平面ABC，PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.C在圆周上，且异于A、B，AB是O的直径，BCAC.又ACPAA，BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.(2)解由(1)知，BC平面PAC，PC平面PAC，PCBC，又ACBC，PCA为二面角PBCA的平面角.在RtPAC中，PA1，AC，PAC90，tanPCA，PCA30，所以二面角PBCA的大小是30.【探究3】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点.求二面角ABD1P的大小.解过点P作BD1、AD1的垂线，垂足分别是E、F，连接EF.AB平面AA1D1D，PF平面AA1D1D，ABPF.PFAD1，且ABAD1A，PF平面ABD1，BD1平面ABD1，PFBD1，又PEBD1，且PEPFP，BD1平面PEF，EF平面PEF.EFBD1，PEF为所求二面角的平面角.RtADD1RtAFP，.而AP，DD11，AD1，PF.连接PB.在PBD1中，PD1PB.PEBD1，BEBD1.在RtPEB中，PE.在RtPEF中，sinPEF，PEF30.二面角ABD1P为30.【探究4】在直角梯形ABCD中，DBAD90，ADDCABa(如图所示)，将ADC沿AC折起，将D翻到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为.若二面角AC为直二面角，求二面角BC的大小.解在直角梯形ABCD中，由已知，DAC为等腰直角三角形，ACa，CAB45.如图所示，过C作CHAB，垂足为H，则AHCHa.由AB2a，可得BCa，ACBC.取AC的中点E，连接DE，则DEAC.二面角AC为直二面角，DE.又BC平面，BCDE.ACDEE，BC.而DC，BCDC，DCA为二面角BC的平面角.由于DCA45，二面角BC为45.规律方法(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算.(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.课堂达标1.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()A.mn，m，n B.mn，m，nC.mn，n，m D.mn，m，n解析n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，.答案C2.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定解析易证AC平面PBC，所以ACBC.答案B3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.解析B1C1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1MB1C1B1，MN平面C1B1M，MNC1M，即C1MN90.答案904.已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用序号表示).解析当m，mn时，有n或n.当n时，即.或当，m时，有m或m.当n时mn，即.答案(或)5.如右图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD平面ABCD.证明如下图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF.F为ABCD的对角线AC与BD的交点，F为AC的中点.又E为SA的中点，EF为SAC的中位线，EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABCD.又EF平面EBD，平面EBD平面ABCD.课堂小结1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.4.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.基础过关1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体AEFH中必有()A.HGAEF所在平面B.AGEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.AHEFH所在平面解析ADDF，ABBE，AHHF，AHHE.又EHFHH，AH面EFH.答案D2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A.60 B.30C.45 D.15解析由条件得：PABC，ACBC，又PAACC，BC平面PAC，BCPC，PCA为二面角PBCA的平面角.在RtPAC中，由PAAC得PCA45，故选C.答案C3.在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A.BC面PDF B.DF面PAEC.面PDF面ABC D.面PAE面ABC解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确.由BCPE，BCAE，PEAEE，BC平面PAE，DF平面PAE，B正确.DF平面ABC，平面ABC平面PAE，D正确.答案C4.已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_.解析如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角.易得AEDE，又AD2，所以DEA90.答案905.在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.解析如图，在RtABC中，CDAB.因为AC6，BC8，所以AB10.所以CD5.因为EC平面ABC，CD平面ABC，所以ECCD.所以ED13.答案136.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.7.如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证：BCAC.证明(1)因为MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.因为四边形AMND为矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC.所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMMN.因为平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AMBC.因为MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因为AC平面AMC，所以BCAC.能力提升8.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个 B.至多一个C.有一个或无数个 D.不存在解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.答案B9.如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1解析连接B1D1，ABCDA1B1C1D1是正方体，BB1平面A1B1C1D1，且A1C1A1B1C1D1，BB1A1C1，又四边形A1B1C1D1是正方形，B1D1A1C1，而B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1D，而B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.答案D10.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_.解析如图，作AO于O，ACl于C，连接OB、OC，则OCl，设AB与所成的角为，则ABO，由图得sin sin 30sin 60.答案11.三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_.解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，则OQBC.易得ABC是直角三角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角.PA，AQAC3，PQ8.又OQBC4，cosPQO，PQO60.答案6012.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值.解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角.因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.13.(选做题)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)方法一如图所示，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，AC2DF.G为AC的中点，DFGC，且DFGC，四边形CFDG是平行四边形，DMMC.BHHC，MHBD.又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，AB2DE，H为BC的中点，BHEF，且BHEF，四边形BHFE是平行四边形，BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GHAB.又GHHFH，ABBEB，平面FGH平面ABED.BD平面ABED，BD平面FGH.(2)G，H分别为AC，BC的中点，GHAB.ABBC，GHBC.又H为BC的中点，EFHC，EFHC，EFCH是平行四边形，CFHE.CFBC，HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，BC平面EGH.又BC平面BCD，平面BCD平面EGH.