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专题31 椭圆及其性质一、考纲要求：1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用二、概念掌握和解题上注意点：1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.3.求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式.4.求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.5.利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.6.直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率）.三、高考考题题例分析例1.（2018课标卷I）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB【答案】（1）y=x+，y=x， （2）见解析证明：（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMA=OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，由y1=kx1k，y2=kx2k得kMA+kMB=，将y=k（x1）代入+y2=1可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k24k12k2+8k2+4k）=0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，OMA=OMB，综上OMA=OMB 例7.(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)【答案】A【解析】法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0b0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）例9.(2017课标卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCD【答案】A例10.(2017课标卷II)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】(1) 。(2)证明略。试题解析：（1）设,设,。由得。因为在C上，所以。因此点P的轨迹方程为。（2）由题意知。设,则，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。椭圆及其性质练习题一、选择题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A1B1C1D1【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.2椭圆C：1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则F1AB的周长为 ()A12B16C20D24【答案】C3直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ()AB.CD【答案】B【解析】如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e. 19.已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：ykx1(k0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为，求BOC的面积【答案】(1) y21. (2) .(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线方程与椭圆联立整理得(3k21)x26kx0，由原点O到直线l的距离为，得k2，又|BC| 2，SBOC|BC|，BOC的面积为.20.已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p(x1，y1)，q(x2，y2)，且pq0，若直线MN过点，求直线MN的斜率【答案】(1) y24x21. (2) .21已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点(1)求椭圆E的方程；(2)若3，求m2的取值范围【答案】(1) x21(2) (1,4)(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得，(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.当m21时，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.1m24.m2的取值范围是(1,4)22对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为利用此结论解答下列问题点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，求证：直线必经过一定点【答案】（1）（2）直线必经过一定点（2）设，则切线，切线都经过点，即直线的方程为又，直线必经过一定点
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