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1.4导数在实际生活中的应用面积、体积最大问题例1用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？思路点拨不妨设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.建立长方体的体积函数模型，再求最值精解详析设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.故长方体的体积为 V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)，或x1，因此x1.当0x0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.一点通在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点1要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，则V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0，所以当x时，V取得最大值答案：2用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90，再焊接而成问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容积为V(x) cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)故V(x)12x2552x4 32012(x10)(x36)令V(x)0，得x10，或x36(舍去)当0x0，即V(x)为增函数；当10x24时，V(x)0，即V(x)为减函数因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(cm3)因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.成本最低(费用最省)问题例2如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价思路点拨精解详析(1)污水处理池长为x m，则宽为 m.据题意解得x16，y40024816 000800x16 000，(2)由(1)知y8000，解得x18，当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又x16，当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元一点通(1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等3做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为_分米时最省材料解析：设水箱底面边长为x分米，则高为分米，用料总面积Sx24xx2，S2x，令S0得x8，当0x8时，S0，当x8时，S0，所以当x8时，S取得最小值，则高为4分米答案：44某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小利润最大问题例3某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x(元)问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)思路点拨根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解精解详析每月生产x吨时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)因为f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，且0x200时，f(x)0；x200时，f(x)0；故x200就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元一点通利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值求解时要注意：价格要大于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利5某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析：利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000(30x200)，S(x)2x230，由S(x)0得x115，当30x0；当115x200时，S(x)0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_解析：设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0得1x4，由y0得4h(80)当x80时函数取得最小值当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.
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