梁弯曲时的变形ppt课件

梁的变形 1概述 挠度和转角 2梁的挠曲线的近似微分方程 3积分法计算梁的位移 4叠加法计算梁的位移 5梁的刚度校核 6弯曲应变能 1 1概述 挠度和转角 应力 变形 强度要求 刚度要求 荷载 主轴变形对加工精度的影响 变形的利用 汽车的钢板弹簧 2 竖向位移 挠曲线 竖向位移CC 挠度 转角 挠度与转角之间的关系 B 梁变形的两个位移度量 3 挠度与转角的正负号规定 挠度 向下为正 反之为负转角 顺时针为正 反之为负 如何求挠曲线的方程式 4 2梁的挠曲线的近似微分方程 纯弯曲 非纯弯曲 梁挠曲线的近似微分方程 1略去了剪力的影响 2略去了变形高次方 5 M 0 6 7 3积分法计算梁的位移 积分法 式中 C D为积分常数 可由梁的某些截面的已知变形条件来确定 如 8 边界条件 连续条件 光滑条件 连续但不光滑 9 例1图示为一受均布荷载作用的简支梁 梁的弯曲刚度EIz为常数 试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转角 A B 解 取如图所示的坐标系 弯矩方程为 10 挠曲线的近似微分方程为 积分得 梁的边界条件为 11 转角方程式和挠度方程式分别为 12 例2用积分法求位移时 图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程 试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件 边界条件 变形光滑条件 B C D 变形连续条件 弯矩方程的分界点 13 静定 组合 梁如图所示 试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件 14 例3图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并确定最大挠度和最大转角 15 解 利用平衡方程求两个支反力 显然 AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样 分别列出AC CB段弯矩方程并积分 16 AC段 CB段 17 边界条件 支承条件 连续条件 光滑条件 18 利用边界条件解得 19 最大转度 从A B 顺时针 逆时针 绝对值 最大挠度wmax w x0 为极值 20 讨论 结论 对于简支梁而言 无论集中力P作用在何处 用w l 2 代替wmax 最大误差为2 65 21 例4用积分法求图示外伸梁自由端C的截面转角和挠度 其中Me ql2 16 解 取图示的坐标系 求支座反力得 22 边界 A C点 条件 23 弯矩方程 梁挠曲线的近似微分方程 边界条件 连续性条件 24 解得 将积分常数回代得 自由端C的截面转角和挠度 25 4叠加法计算梁的位移 积分法 Me单独作用 q单独作用 26 线性关系 叠加原理 梁在几个荷载同时作用时 其任一截面处的转角 或挠度 等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角 或挠度 的总和 适用条件 1小变形 2材料处于弹性阶段且服从胡克定律 但是有一点需要说明 27 线弹性 位移可以叠加 为什么线性关系可以叠加 28 非线性弹性 位移不可以叠加 29 表7 4 1 简支梁跨中受集中力作用 如果其它条件不变 则当梁长增加一倍时 梁内的最大正应力变为原来的 最大挠度变为原来的 EIz称为抗弯刚度 30 31 试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB 32 例试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度 表7 4 1 2 表7 4 1 3 33 例4 简支梁受图示荷载作用 试用叠加法求C截面的挠度和截面转角 A 34 35 表7 4 1 分析 分析C点 36 结论 规律 2 当梁的支承情况对称 荷载反对称时 则弯矩图永为反对称图形 剪力图永为对称图形 1 当梁的支承情况对称 荷载也对称时 则弯矩图永为对称图形 剪力图永为反对称图形 37 表7 4 1 跨度为l 2的简支梁 38 例5 外伸梁受图示荷载作用 试用叠加法求外伸端C截面的挠度 39 分析 表7 4 1 表7 4 1 请思考 能不能将力F向A点简化 为什么 悬臂梁 简支梁 C2 40 例6 41 表7 4 1 表7 4 1 42 例题 已知F E G 求C点铅垂位移 A 分析 AB 弯曲 扭转变形 BC 弯曲变形故C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉 AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉 43 解 采用逐段刚化法 1 将AB刚化 计算BC弯曲变形引起的C点的挠度 44 2 将BC刚化 即去掉BC 但保留BC对AB的作用力 计算AB弯曲引起的C点的挠度 45 3 将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度 计算B截面扭转角 所以 C点位移为 46 根据梁的弯矩图和支座条件 画出梁的挠曲线的大致形状 47 5梁的刚度计算 一 梁的刚度条件 48 起重机大梁 吊车梁 发动机曲轴 凸轮轴 普通机床主轴 一般的轴 强度与刚度 49 例7 车床主轴如图所示 已知工作时的径向力P1 2000N 齿轮啮合处的径向力P2 1000N 主轴的外径D 8cm 内径d 4cm l 40cm a 20cm C处的许用挠度 y 0 0001l 轴承B处的许用转角 0 001rad 试校核其刚度 50 将主轴简化为如图b所示的外伸梁 横截面的惯性矩为 1 计算变形 由表7 1查出 因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角为 51 由表7 1查得 因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角为 52 则C处的总挠度为 则B处的总转角为 53 主轴的许用挠度和许用转角为 故主轴满足刚度条件 2 校核刚度 54 二 提高承载能力的措施 1减小梁的跨度2选择合理截面形状3改善梁的受力和支座位置4预加反弯度 增加支座 55 大自然中的悬臂梁 独根草 多年生草本植物 具粗壮的根状茎 生长在山谷和悬崖石缝处 为中国特有属 56 拱 预应力梁 57 6梁内的弯曲应变能 纯弯曲 横力弯曲 58 例计算图示悬臂梁的弯曲应变能 并计算B点的挠度wB 已知梁的弯曲刚度为EI 解 1弯矩方程 2弯曲应变能 3计算B点的挠度 59 7简单超静定梁 未知反力的数目多于平衡方程的数目 仅由静力平衡方程不能求解的梁 称为超静定梁 静不定梁 概念 60 讨论 61 实质 存在多余约束 多余约束的作用 增加了未知力个数 增加对变形的限制 使问题变为不可解 使问题变为可解 wB 0 62 wB 0 相当系统 MA 1解除多余约束 代之以约束反力 2补充方程 3与平衡方程联立求解 解题步骤 63 力法 64 确定超静定次数 用反力代替多余约束得新结构 静定基 wB 0 A 0 静定基1 静定基2 65 思考题 1 弯矩和剪力分别由什么应力组成 2 研究梁的正应力的基本思路是什么 3 什么是梁的中性层 中性轴 证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心 4 什么是梁的曲率 它与什么有关 抗弯刚度越大曲率半径也越大 抗弯刚度越小曲率半径也越小 对吗 为什么 66 5 叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁 6 写出截面抗弯模量的数学式 对圆截面 抗弯和抗扭截面模量有何关系 7 总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤 8 由直径为D的圆木切割出一矩形梁 求出使梁的强度最大的高宽比 67 简支梁跨中受集中力作用 悬臂梁自由端受集中力作用 悬臂梁自由端受集中力作用 转角方程和挠度方程总是连续的 5 梁的最大挠度必产生于最大弯矩处 4 弯矩突变的截面处转角也突变 3 弯矩为零处 挠曲线曲率必为零 2 弯矩最大的截面转角最大 弯矩为零的截面转角为零 1 正弯矩产生正转角 负弯矩产生负转角 9试判断 68 10应用叠加原理的条件是什么 小变形 材料处于弹性阶段且服从胡克定律11两悬臂梁 其横截面和材料相同 一梁的长度是另一梁的2倍 在梁的自由端作用有大小相等的集中力 则长梁自由端的挠度 转角分别是短梁的多少倍 69 作业 P146习题7 1 1 7 2 1 7 3 1 7 4 2 3 7 67 9 2 7 197 20 作业 P181习题5 15 25 55 65 75 95 105 125 15 a 5 18 a 5 19 c 5 20 c 5 23 70 比较三种情形下梁的受力 剪力和弯矩图的相同之处和不同之处 从中能得到什么重要结论 71 或 用变形比较法解简单超静定梁 处理方法 3种方程 变形协调 物理 平衡 相结合 求全部未知力 解 建立静定基确定超静定次数用反力代替多余约束得新结构 静定基 72 几何方程 变形协调方程 物理方程 补充方程 求解其它问题 反力 应力 变形等 73 几何方程 变形协调方程 解 建立静定基 例10求B点反力 74 物理方程 变形与力的关系 补充方程 求解其它问题 反力 应力 变形等 75