2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析） (I).doc

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析） (I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1. 设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：举反例判断ABD根据指数函数的单调性判断C详解：a，bR，若ab，当a=1，b=1时，故A不成立，因为y=2x为增函数，所以2a2b，故B成立，当a=1，b=2时，C没有意义，故C不成立，当a=，b=时，D不成立，故选：B点睛：本题考查了不等式的性质以及指数函数的单调性，属于基础题2. 某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得在每层中的抽取比例为，所以抽到的中年教师的人数为人。选C。3. 若直线与直线垂直，则的值是（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或1【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率乘积等于1，或根据求解。由已知得=0，即，解得m为或，故选B。考点：本题主要考查两直线垂直关系。点评：简单题，构建m的方程，求m。4. 已知数列是公比为的等比数列，且，成等差数列，则公比的值为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，易求详解：由题意2a3=a1+a2，2a1q2=a1q+a1，2q2=q+1，q=1或q=.故选：D.点睛：本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练5. 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的五个面中面积的最大值是（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为，后面是等腰三角形，腰为，所以后面的三角形的高为，可得后面三角形的面积为，两个侧面面积为 ，前面三角形的面积为，底面矩形的面积是 ，四棱锥的五个面中面积最大的是前面三角形的面积，故选C.6. 设，是两条不重合的直线， ，是两个不同的平面，有下列四个命题：若， ，则；若， ， ，则； 若， ， ，则；若， ， ，则.则正确的命题为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于，还可能有，故错；对于，与还有可能异面，故错；正确故选：7. 若， ， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意，故选B.8. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如下图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得到关于x的方程，解方程即可求得最终结果.详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入的值，第一次循环：，此时不满足；第二次循环：，此时不满足；第三次循环：，此时不满足；第四次循环：，此时满足，跳出循环；由题意可得：，解方程可得输入值为：.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证9. 正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将异面直线平移到同一平面中，构成一等腰三角形，应用余弦定理求值.详解：取的中点为E点，的中点为G点，连接AG，AE，EG，则角AEG或其补角为所求，设正方形边长为2，根据三角形的三边关系得到AE=3，AG=3，GE=，由余弦定理得到角AEG的余弦值为.故答案为：A.点睛：本题主要考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.10. 已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120，则这个三角形的周长为 （ ）A. 15 B. 18 C. 21 D. 24【答案】A【解析】设的三边长分别为，由题意得，解得，三角形的周长为选A11. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：；面；面，其中恒成立的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN（1）由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；（3）由（1）可知：平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直详解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN对于（1），由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMN=N，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确对于（4），由（1）同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选：A点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.12. 和点,使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意，|CM| ，即可求出实数t的取值范围详解：由题意，|CM|，（51）2+（t3）220，2t6，故选：D点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知实数，满足约束条件，则的最小值是_.【答案】-1【解析】分析：根据题中不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，平移分析得到最值.详解：根据题意画出可行域，是一个开放区域，目标函数为 当目标函数过点（-3，1）时，有最小值，代入得到-1.故答案为：-1.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.14. 在平面直角坐标系中，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：画出图形，结合图形，求出直线过点A、B时a的值，由此求出a的取值范围详解：画出图形，如图所示；结合图形，知：直线axy2a=0可化为y=ax2a，该直线过点A（1，3），a32a=0，解得a=3；又该直线过点B（4，2），4a22a=0，解得a=1；又直线axy2a=0与线段AB有公共点，实数a的取值范围是a3，或a1故答案为：（，31，+）；点睛：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据图形，结合题意，求出符合条件的a的取值范围15. 在平行四边形中，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】分析：已知ABBD，沿BD折起后，由平面ABD平面BDC，可得三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，进而根据，求出三棱锥ABCD的外接球的半径，可得三棱锥ABCD的外接球的表面积详解：平行四边形ABCD中，沿BD折成直二面角ABDC，平面ABD平面BDC三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4外接球的半径为1，故表面积是4故答案为：点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 已知的内角所对的边分别为，且，如图，若点是外一点，则当四边形面积最大时,_.【答案】【解析】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B（0，），可求B的值由余弦定理可得AC2=1312cosD，由ABC为直角三角形，可求，,SBDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解： ，由正弦定理得到 在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为 四边形的面积为 当三角形面积最大时， 故答案为：点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分。17. 在等差数列中，.（1）求数列的通项；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据为等差数列，由，可以求出公差，再根据公式，可以求出通项；（2）由于为等差数列，所以其前n项和，于是，所以问题转化为求数列的前n项和，可以证明是等比数列，首项为，公比为3，于是可以求出数列的前n项和.试题解析：(1)因为，所以，于是，所以.(2) 因为，所以，于是，令，则，显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前项和.考点：1.等差数列通项公式；2.等比数列前n项和公式.18. 在中，是角所对的边，(1)求角； (2)若，且的面积是，求的值【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由两角和差公式得到，进而得到角A的值；（2）结合第一问和三角形的面积公式得到，由余弦定理得到，则，可得详解：(1)在中， ，那么由，可得， ，在中， (2)由(1)知，且，得，由余弦定理得，那么， ，则，可得点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19. 如图，在三棱锥中，底面，且SA=AB，点M是的中点，ANSC且交SC于点N.（1）求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形底边中线性质得（2）求三棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由（1）得平面，因此，这样只需在对应三角形中求出对应边即可.试题解析：（1）底面,面,又因为是的中点,面由已知平面.(2)平面,平面,而,又又平面而 .考点：线面垂直判定与性质定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知数列的前项和为，并且满足，.（1）求数列通项公式；（2）设为数列的前项和，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意得到，两式做差得到；（2）根据第一问得到，由错位相减法得到前n项和，进而可证和小于1.解析：（1） 当 时， 当时， ，即 数列 时以 为首项， 为公差的等差数列. .（2） 由 得 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.21. 如图，是边长为3的正方形，平面， 平面， .（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）的中点试题解析：解：（1）平面，平面，平面，是正方形，平面，平面，平面，平面平面.（2）假设存在一点，过作交于，连接，设，则，设到的距离为，则，解得，即存在点且满足条件.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出的位置的值.22. 在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、当的半径取最小值时： （1）求出此时的值，并写出的标准方程；（2）在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由；（3）在第（2）问的条件下，求的取值范围【答案】（1）,（2）点F的坐标为,定值为2（3）【解析】分析：（1）运用配方和二次函数的最值求法，即可得到所求圆的方程；（2）设P（x，y），定点F（m，0）（m为常数），运用两点的距离公式，化简整理，再由恒等式的性质，即可得到定点F的坐标和的定值；（3）由上问可知对于C上任意一点P总有，可得|PG|PF|FG|（当P、F、G三点共线时取等号），又，故2|PG|PE|5，5化简的关系式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围详解：（1）C的标准式为： ， 当时，C的半径取最小值，此时C的标准方程为；（2）设，定点（m为常数），则，代入上式， 得： 由于取值与x无关，（舍去）此时点F的坐标为， 即；（3）由上问可知对于C上任意一点P总有，故， 而（当P、F、G三点共线时取等号）， 又，故 ，令，则，根据对勾函数的单调性可得： 点睛：本题考查圆的方程的一般式和标准式，考查线段长的比为定值的求法，以及实数的取值范围，注意运用两点的距离公式和转化思想，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.