高等数学8-8多元函数的极值及其求法.ppt

1 第八节 一 多元函数的极值 二 最值应用问题 三 条件极值 多元函数的极值及其求法 2 一 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 3 定理1 必要条件 函数 偏导数 证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 取得极值 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 则有 存在 故 4 5 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 6 时 具有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 7 8 例1 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 9 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 10 解 11 12 13 二 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 14 解 如图 15 16 17 解 由 18 19 对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性 例5某公司在生产中使用甲 两种原料 已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品 且 已知甲原料单价为20元 单位 乙原料单价为30元 单位 产品每单位售价为100元 产品固定成本为1000元 求该公司的最大利润 解利润函数为 20 利润函数 解方程组 求得唯一驻点 5 8 所以在 5 8 取得极大值 21 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外 并无其他条件 22 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 23 方法2拉格朗日乘数法 如方法1所述 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题 极值点必满足 设 记 例如 故 故有 24 引入辅助函数 辅助函数F称为拉格朗日 Lagrange 函数 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 25 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 求函数 下的极值 在条件 26 解该问题即求函数 在条件及x y z 1下的最大值与最小值 求偏导得到可能的极值点 27 由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值 其最大值与最小值为 28 解 则 29 例8某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告 根据统计资料分析可知 销售收入R 万元 与电台广告费x 万元 报纸广告费y 万元 有如下经验公式 R 15 14x 32y 8xy 2x2 10y2 1 在广告费用不限的情况下 求使销售净收入最大的广告策略 2 若提供的广告费用为1 5万元 求相应的最优广告策略 30 解 1 销售净收入为L R x y 15 13x 31y 8xy 2x2 10y2由极值必要条件Lx 13 8y 4x 0 Ly 31 8x 20y 0得驻点 x0 y0 0 75 1 25 由于Lxx 4 0 Lxy 8 Lyy 20得B2 AC 16 0 x0 y0 0 75 1 25 为极大值点 亦最大值点于是 电台广告费为0 75万元 报纸广告费为1 25万元时 销售净收入最大 最大值为39 25万元 31 32 例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品 两个市场的需求函数分别是P1 18 2Q1 P2 12 Q2总成本为C 2Q 5 Q Q1 Q2 1 如果该企业实行价格差别策略 试确定两个市场上该产品的销售量和价格 使该企业获得最大利润 2 如果该企业实行价格无差别策略 试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格 使该企业的总利润最大化 并比较两种价格策略下的总利润大小 33 解 1 34 2 35 例10 某公司准备用2百万元的资金 通过两种方式做广告 一种是电台广播 一种是在日报上登广告 根据以王经验 销售收入与广告费用之间有如下关系 费和日报广告费 单位均为百万元 试确定广告费使用的最佳方案 使销售金额最大 解 36 且为最大值 37 38 例11设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为 假定每单位劳动力花费100元 每单位原料原料花费200元 现有资金30000元用于生产 应如何按排劳动力与原料 使产量达到最大 解 该问题是在劳动力x与原料y满足条件100 x 200y 30000的条件下 求目标函数的最大值 构造函数 39 求可能的极值点 得到唯一的驻点x 225 y 37 5 4 44 仅有一个可能的极值点 由问题本身可知最大值一定存在 所以x 225 y 37 5就是最优解 40 P613 4 8 9 10 作业