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专题38 离散型随机变量及其分布列、均值与方差一、考纲要求：1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.4.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题二、概念掌握及解题上的注意点：1.求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1）找出随机变量X的所有可能取值xi(i1，2，3，n)；(2）求出各个取值的概率P(Xxi)pi；(3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，超几何分布的特征：(1）考察对象分两类；(2）已知各类对象中个体的个数；(3）从中抽取若干个个体，考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.4.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1）理解X的意义，写出X可能取的全部值.(2）求X取每个值时的概率.(3）写出X的分布列.(4）由均值的定义求E(X).(5）由方差的定义求D(X).5.利用均值、方差进行决策的两个方略(1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.(2）若两随机变量均值相同或相差不大.则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.三、高考考题题例分析： 例1.（2018全国卷I） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】见解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知YB（180，0.1），X=202+25Y，即X=40+25Y，E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+251800.1=490（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490400，应该对余下的产品进行检验例2.（2018北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系【答案】见解析（）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：2000.25=50部，第五类获得好评的有：8000.2=160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）=0.35（）由题意知，定义随机变量如下：k=，则k服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影： 1 1 0 P 0.4 0.6E（1）=10.4+00.6=0.4，D（1）=（10.4）20.4+（00.4）20.6=0.24第二类电影： 2 1 0 P 0.2 0.8E（2）=10.2+00.8=0.2，D（2）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第三类电影： 3 1 0 P 0.15 0.85E（3）=10.15+00.85=0.15，D（3）=（10.15）20.15+（00.85）20.85=0.1275第五类电影： 5 1 0 P 0.2 0.8E（5）=10.2+00.8=0.2，D（5）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第六类电影： 6 1 0 P 0.1 0.9E（6）=10.1+00.9=0.1，D（5）=（10.1）20.1+（00.1）20.9=0.09方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系为：D6D3D2=D5D4D1 例6.(2017山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列【答案】(1) ；(2)见解析因此X的分布列为X01234P例7. (2017天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【答案】(1) ；(2) 【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.例8. (2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_【答案】【解析】法一：先求出成功次数X的分布列，再求均值由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X0)，P(X1)C，P(X2).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)012.法二：此试验满足二项分布，其中p，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.离散型随机变量及其分布列、均值与方差练习题一、选择题1设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0BCD【答案】C2若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2c38c则常数c的值为()A或BCD1【答案】C【解析】根据离散型随机变量分布列的性质知得c.3在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是() AP(X2)BP(X2)CP(X4)DP(X4)【答案】C【解析】X服从超几何分布，故P(Xk)，k4.4若离散型随机变量X的分布列为()X01P则X的数学期望E(X)()A2B2或CD1【答案】C5已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA5B6C7D8【答案】C【解析】由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4，E(X)40.5a0.190.46.3，a7.6已知随机变量满足E(1)5，D(1)5，则下列说法正确的是()AE()5，D()5BE()4，D()4CE()5，D()5DE()4，D()5【答案】D【解析】因为E(1)1E()5，所以E()4.D(1)(1)2D()5，所以D()5，故选D.7已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3,4)，则P(2X4)等于()ABCD【答案】B8若随机变量X的分布列为X210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A(，2B1,2C(1,2D(1,2)【答案】C【解析】由随机变量X的分布列知P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，P(X2)0.1，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1,29罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为() ABCD【答案】B【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则XB，所以D(X)4.10已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E()()A3BCD4【答案】B【解析】的可能取值为2,3,4，P(2)，P(3)，P(4)，则E()234，故选B11若P(Xx2)1，P(Xx1)1，其中x1x2)，P(Xx2)P(X，则P的取值范围是_【答案】. 【解析】由已知得P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2，则E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p，又p(0,1)，所以p.三、解答题17有编号为1,2,3，n的n个学生，入坐编号为1,2,3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法(1)求n的值(2)求随机变量X的概率分布列. 【答案】(1)4；(2)见解析所以X的概率分布列为：X0234P18.端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列. 【答案】(1) ；(2)见解析综上知，X的分布列为X012P19PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB3 0952 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列【答案】(1) ；(2)见解析。【解析】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).(2)依据条件，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3). 因此的分布列为0123P20在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值【答案】(1)见解析；(2) 或21为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分(即获得10分)，绿灯闪亮的概率为；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分(即获得20分)，出现音乐的概率为.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品(1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率【答案】(1)见解析；(2) 所以X的分布列为X110503030P故E(X)11050303032.(2)设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次(0n5，nN*)，则没出现音乐5n次，依题意得60n20(5n)130，解得n，所以n3或4或5.设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M，则P(M)CC.22.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E()，方差D(). 【答案】(1) ；(2)80，(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0,40,80,120,160，则：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列为04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.
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