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2.3.2抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系1,9抛物线的焦点弦问题2,3,7抛物线中的最值问题4,10,11,13抛物线中的定值问题12综合应用5,6【基础巩固】1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则(C)(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为(B)(A)8(B)16(C)32(D)64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(C)(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3,所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.故选C.4.(2018临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.5.(2016全国卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k等于(D)(A)(B)1(C)(D)2解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.6.(2018郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则A1FB1等于(A)(A)90(B)45(C)60(D)120解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以AA1F=AFA1,又AA1F=A1FO,所以AFA1=A1FO,同理BFB1=B1FO,于是AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1.故A1FB1=90.故选A.7.(2018兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,所以y1+y2=2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),所以k=8.代入得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+,即x1+x2+p=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p,将代入,得p=2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】9.(2017高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若=0,则m等于(B)(A)(B)(C)(D)0解析:由可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),由=0,可得(3,2-m)(,-m)=0.化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.10.(2018宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是(B)(A)2(B)3(C)(D)解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,AFO的面积等于|a|=,所以ABO与AFO的面积之和为|a+|+=|a|+|2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.故选B.11.(2018云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为(,y0),由|PQ|a|,得+(-a)2a2,整理得(+16-8a)0,因为0,所以+16-8a0,即a2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a2.答案:(-,212. (2018湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值.(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=,所以M(,3).因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为-(-1)=.(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,设直线MA的方程为y-3=k(x-),由得y2-y+-9=0.所以yA+3=,所以yA=-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).同理可得yB=-3.(只需将yA=-3中的k换为-k)所以kAB=-.所以直线AB的斜率为定值-.【探究创新】13.(2018枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.解析:设Q(x,y),其中x2=4y.又圆心C(0,6),则|QC|=(y0).当y=4时,|QC|min=2,所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.答案:
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