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12回归分析学习目标1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解回归分析的基本思想和初步应用知识链接1什么叫回归分析？答回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法2回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等预习导引1线性回归方程(1)对于n对观测数据(xi，yi)(i1,2,3，n)，直线方程x称为这n对数据的线性回归方程其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值(2)将yabx称为线性回归模型，其中abx是确定性函数，称为随机误差2相关系数r的性质(1)|r|1；(2)|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；(3)|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱3显著性检验(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出判断，可以根据10.950.05与n2在附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中10.950.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r；(4)作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为x与y之间有线性相关关系.要点一线性相关的判断例1某校高三(1)班的学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学平均成绩y(单位：分)之间有表格所示的数据.x24152319161120161713y92799789644783687159(1)画出散点图；(2)作相关性检验；(3)若某同学每周用于数学学习的时间为18h，试预测其数学成绩解(1)根据表中的数据，画散点图，如图从散点图看，数学成绩与学习时间线性相关(2)由已知数据求得17.4，74.9，3182，58375，iyi13578，所以相关系数r0.920.而n10时，r0.050.632，所以|r|r0.05，所以有95%的把握认为数学成绩与学习时间之间具有线性相关关系(3)用科学计算器计算，可得线性回归方程为3.53x13.44.当x18时，3.531813.4477，故预计该同学数学成绩可得77分左右规律方法判断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图；二是相关系数r.前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱跟踪演练1暑期社会实践中，小闲所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情况，得到的数据如下表：x/人24568y/元2030505070(1)利用相关系数r判断y与x是否线性相关；(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程解(1)由表中数据，利用科学计算器计算得：r0.975.因为rr0.050.878，所以y与x之间具有线性相关关系(2)根据以上数据可得，8.5，448.551.5，所求的线性回归方程为1.58.5x.要点二求线性回归方程例2某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生编号12345学科编号ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩解(1)散点图如图(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125054.88276273266263227174.所以0.625.67.80.62573.222.05.所以y对x的线性回归方程是0.625x22.05.(3)x96，则0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.规律方法(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析(2)求线性回归方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义跟踪演练2某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力解如图：xiyi6283105126158，9，4，x6282102122344，0.7，40.792.3，故线性回归方程为0.7x2.3.由中线性回归方程当x9时，0.792.34，故预测记忆力为9的同学的判断力为4.要点三非线性回归分析例3某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系；如有，求出y对x的回归方程解令u，原题中所给数据变成如下表示的数据：u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.150.2245，3.14，10()20.9088，iyi108.15525，10()273.207，r0.9998，查表得r0.050.632，因为rr0.05，从而认为u与y之间具有线性相关关系回归系数8.974，3.148.9740.22451.125，所以8.974u1.125，所以y对x的回归方程为1.125.规律方法对非线性回归问题，若给出经验公式，采用变量代换把问题转化为线性回归问题若没有经验公式，需结合散点图挑选拟合得最好的函数跟踪演练3在试验中得到变量y与x的数据如下表：试求y与x之间的回归方程，并预测x40时，y的值.x1923273135y41124109325解作散点图如图所示，从散点图可以看出，两个变量x，y不呈线性相关关系，根据学过的函数知识，样本点分布的曲线符合指数型函数yc1ec2x，通过对数变化把指数关系变为线性关系，令zlny，则zbxa(alnc1，bc2)列表：x1923273135z1.3862.3983.1784.6915.784作散点图如图所示，从散点图可以看出，两个变量x，z呈很强的线性相关关系由表中的数据得到线性回归方程为0.277x3.998.所以y关于x的指数回归方程为：e0.277x3.998.所以，当x40时，ye0.277403.9981190.347.1在下列各量之间，存在相关关系的是_正方体的体积与棱长之间的关系；一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；家庭的支出与收入之间的关系；某户家庭用电量与电价之间的关系答案2如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据_后，剩下的4组数据的相关指数最大答案D(3,10)解析经计算，去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大3对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为_答案106.5x解析由题意知2，3，6.5，所以36.5210，即回归直线的方程为106.5x.4某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额解(1)设所求的线性回归方程为x，则0.5，0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为0.5x0.4.(2)当x11时，0.5x0.40.5110.45.9(万元)所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元1相关系数rr的大小与两个变量之间线性相关程度的强弱关系：(1)当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关当r1时，两个变量完全正相关；当r1时，两个变量完全负相关(2)|r|1，并且|r|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|r|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常当|r|r0.05时，认为两个变量有很强的线性相关程度此时建立的回归模型是有意义的2回归分析用回归分析可以预测具有相关关系的两个随机变量的取值但要注意：回归方程只适用于我们所研究的样本的总体我们建立的回归方程一般都有时间性样本取值的范围影响了回归方程的适用范围回归方程得到预报值不是变量的精确值，是变量可能取值的平均值一、基础达标1已知方程0.85x82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的随机误差是_答案0.292对于相关系数r，以下4个叙述错误的是_|r|(0，)，|r|越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小；r(，)，r越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小；|r|1，|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小答案3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是_0.4x2.3；2x2.4；2x9.5；0.3x4.4.答案解析因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项和.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项和中的直线方程进行检验，可以排除，故选.4某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表(如下表所示)，且由表中数据算得线性回归方程x中的2，则预测当气温为25时，冰糕销量为_箱.气温/1813101冰糕/箱64383424答案70解析由线性回归方程必过点(，)，且2，得20.当x25时，70.5已知对一组观测值(xi，yi)(i1,2，n)作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于x，求得0.51，61.75，38.14，则线性回归方程为_答案0.51x6.65解析38.140.5161.756.64756.65.0.51x6.65.6以下关于线性回归的判断，正确的是_散点图中所有点都在一条直线附近，这条直线为回归直线；散点图中的绝大多数点都在回归直线的附近，个别特殊点不影响线性回归性；已知直线方程为0.50x0.81，则x25时，为11.69；线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势答案解析对于，回归直线应使样本点总体距回归直线最近，而不是所有点都在一条直线附近，故不正确，均正确7在某种产品表面进行腐蚀性刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值，如下表：x/s5101520304050607090120y/m610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性解(1)作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度y(m)与腐蚀时间x(s)之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数r0.98，显然|r|r0.050.602.所以，腐蚀深度y与腐蚀时间x之间有很强的线性相关关系二、能力提升8四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是_答案解析中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；方程中的x的系数为负，不是正相关，一定不正确9对具有线性相关关系的变量x、y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，它们之间的线性回归方程是3x20，若i18，则i_.答案254解析由i18，得1.8.因为点(，)在直线3x20上，则25.4.所以i25.410254.10一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量Y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：i28，303.4，i75，598.5，iyi237，则y与x的相关系数r的绝对值为_答案0.3解析r0.3.11为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量y(单位：千件)对于价格x(单位：千元)的反应，得数据如下：x/千元5070804030909597y/千件1008060120135555048(1)若y与x之间具有线性相关关系，求y对x的线性回归方程；(2)若成本Xy500，试求：在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格；在利润为最大的条件下，定价为多少？解(1)y与x之间有线性相关关系，1.2866，169.7724，线性回归方程为1.2866x169.7724.(2)在盈亏平衡条件下，x500，即1.2866x2169.7724x1.2866x169.7724500，12866x2171.059x669.77240，解得x1128.9162，x24.0381(舍去)，此时新产品的价格为128.9162千元在利润最大的条件下，QxX1.2866x2169.7724x1.2866x169.77245001.2866x2171.059x669.7724.要使Q取得最大值，x66.4771，即此时新产品应定价为66.4771千元12一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验测得的数据如下：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分钟626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)根据求出的线性回归方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？解(1)列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201360225032404450570071408640103501220055，91.7，38500，87777，iyi55950，因此r0.9998.由于|r|0.9998r0.050.632，因此x与y之间有很强的线性相关关系(2)设所求的线性回归方程为x，则有0.668，91.70.6685554.96，因此，所求的线性回归方程为0.668x54.96.(3)这个线性回归方程的意义是当x每增大1时，y的值约增加0.668，而54.96是y不随x增加而变化的部分因此，当x200时，y的估计值为0.66820054.96188.56189.因此，加工200个零件所用的工时约为189分钟三、探究与创新13从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程x；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程x中，b，其中，为样本平均值解(1)由题意知n10，i8，i2，又lxxn2720108280，lxyiyin184108224，由此得0.3，20.380.4，故所求回归方程为0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.41.7(千元)
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