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课堂达标(四十一) 圆的方程A基础巩固练1(高考广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析设所求切线方程为2xyc0，依题意有，解得c5，所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50，故选A.答案A2已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A2B2C1 D1解析因为曲线x2y22x6y10是圆(x1)2(y3)29，若圆(x1)2(y3)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(1,3)，所以13m40，解得m1.答案D3若直线ax2by30(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()A1 B5C4 D32解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，(ab)33232，当且仅当，即b2，a1时，等号成立的最小值为32.答案D4点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则代入xy4中得(x2)2(y1)21.答案A5(2018吉大附中第七次模拟)已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆C上存在点P，使得0，则t的最小值为()A3 B2C. D1解析由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆，当两圆外切时有：tmin1tmin1，即t的最小值为1.答案D6(2018绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x21的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为()Ax2(y1)21 Bx2(y)23Cx2(y1)21 Dx2(y)23解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x2(y1)21.答案A7过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_解析当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与点P连线的斜率k1，所求直线方程为y1(x1)，即xy20.答案xy208已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)259设M(x，y)|y，a0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.解析因为集合M(x，y)|y，a0，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1a的上半圆同理，集合N表示以Q(1，)为圆心，半径为r2a的圆上的点这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|2.如图所示，当两圆外切时，由aa2，得a22；当两圆内切时，由aa2，得a22.所以a的最大值为22，最小值为22.答案22；2210已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又直线|CD|4.|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.B能力提升练1已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为()A.2y2 B.2y2Cx22 Dx22解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin 1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案C2(2018九江模拟)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22xy10的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是()A. B2C. D2解析圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则C(1,1)，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，|PC|min2，此时|PA|PB|.所以四边形PACB的面积S21，故选C.答案C3设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_解析函数y的图象表示圆(x1)2y24的下半圆令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.答案24(2018岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.答案15已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中0)根据题意，得，解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|，又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为S222.
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