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2.1.2离散型随机变量的分布列(二)学习目标1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布知识点一两点分布随机变量X的分布列为X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率知识点二超几何分布思考在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式答案.梳理一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列X01mP为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布类型一两点分布例1(1)某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；(2)若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2c38c求出c，并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？考点离散型随机变量的分布列题点两点分布解(1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X，则P(X1)0.9，P(X0)10.90.1.X01P0.10.9(2)由(9c2c)(38c)1，解得c或c，又9c2c0,38c0，所以c，所以c.X的取值为0,1，故X服从两点分布，成功概率为38c.反思与感悟两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P(X0)P(X1)1是否成立如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布跟踪训练1已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列考点离散型随机变量的分布列题点两点分布解由题意知，X服从两点分布，P(X0)，P(X1)1.所以随机变量X的分布列为X01P类型二超几何分布例2一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数nC20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P.(2)由题意知X0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P引申探究1在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列解由题意可知0,1，服从两点分布又P(1)，所以的分布列为01P2将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？解(1)取出3个球颜色都不相同的概率P.(2)由题意知X0,1,2,3.P(X0)，P(X1).P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P反思与感悟超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式P(Xk)求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来跟踪训练2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123P1设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去表示1次试验的成功次数，则P(0)等于()A0 B. C. D.考点离散型随机变量的分布列题点两点分布答案C解析由题意知该分布为两点分布，又P(1)2P(0)且P(1)P(0)1，P(0).2已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，P(X4).3若随机变量X服从两点分布，且P(X0)0.8，P(X1)0.2.令Y3X2，则P(Y2)等于()A0.8 B0.2 C0.4 D0.1考点离散型随机变量的分布列题点两点分布答案A解析因为Y3X2，所以X(Y2)当Y2时，X0，所以P(Y2)P(X0)0.8.4从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为_考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案解析设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X1)P(X0)P(X1).5交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解设抽奖人所得钱数为随机变量，则2,6,10.P(2)，P(6)，P(10).故的分布列为2610P1两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量2超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(Xk)求出X取不同值k时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义一、选择题1从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A. B.C1 D.考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案D解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X3)P(X3)P(X4).2下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()A将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数考点超几何分布题点超几何分布的概念答案B解析由超几何分布的定义可知B正确3在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A. B. C. D.考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析记X为2张中的中奖数，则P(X2).410名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于()A1 B2或8 C2 D8考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案B解析由题意知，解得a2或8.5一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案B解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率6盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为()A恰有1个是坏的 B4个全是好的C恰有2个是好的 D至多有2个是坏的考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析“Xk”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(Xk)(k1,2,3,4)所以P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，故选C.7从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X3)等于()A. B. C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用答案D解析“X3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X3)，故选D.二、填空题8某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X1)_.考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案解析易知P(X1).9在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X，则P(X7)_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用答案解析P(X7).10有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为_(用式子表示)考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案解析二级品不多于1台，即一级品有3台或4台11袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量，则8的概率P(8)_.考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案解析由题意知P(8)1P(6)P(4)1.三、解答题12老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；(2)他能及格的概率考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P(2)他能及格的概率为P(X2)P(X2)P(X3).13受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P四、探究与拓展14一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X2)_.考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案解析设10个球中有白球m个，则1，解得m5或m14(舍去)所以P(X2).15为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有122(人)，“非高个子”有183(人)用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，则它的对立事件表示“没有一个高个子被选中”，则P(A)1P()11.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).因此，X的分布列为X0123P
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