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专题28复数的概念及运算本专题特别注意：1.复数四则运算2. 复数加减的几何意义3. 复数与数列的综合4.复数与二项式定理的综合问题 5. 复数的模和共轭复数问题【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用【方法总结】1.设zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.【高考模拟】：一、单选题1已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果.【详解】，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（ ）A B C D 【答案】D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数3（2017太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.【详解】，故所求共轭复数为，故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算，是基础题.4已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（ ）A 的共轭复数为 B 的虚部为-1C 在复平面内对应的点在第一象限 D 【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再判断每一个选项的真假.【点睛】(1)本题主要考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.5欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )A B C 1 D 【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案【详解】由题意，=cos+isin，表示的复数的模为故选：C【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题6若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（ ）A 12 B 5 C D 【答案】D【解析】【分析】先求复数z,再求复数，再求它的虚部.【详解】由题得，所以它的虚部为-12.故答案为：D.【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.7读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】A【解析】【分析】运用复数除法法则运算得到结果【详解】由题意得，在复平面内对应的点为在第一象限，故选【点睛】本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案8已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（ ）A 在复平面内对应的点落在第四象限 B C 的虚部为1 D 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9设复数满足，则（ ）A 3 B C 9 D 10【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出【详解】满足=2i，则|z|=3故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10复数等于（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题11设为复数的共轭复数，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可.【详解】，共轭复数，则.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.12为虚数单位，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，则，即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，设，两边同乘可得：两式相减可得 所以，故选C.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.13欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.详解：由欧拉公式，可得，因为，所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.14下列3个命题：若，则；若是纯虚数，则；若，且，则.其中真命题的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】分析：通过举反例可判断错误，由复数的乘法法则判断正确，由复数的概念可判断错误.详解：令，满足，故错误.是纯虚数,即，则，故正确.只有当时，才可以比较大小，故错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.15对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为 （ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：利用定义，列出方程表示出，分子、分母同时乘以得到的值详解：因为，又所以 所以 故选：D点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决16已知复数满足,则等于( )A B C D 【答案】C【解析】分析：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线的长.详解：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线则由题意为等边三角形，故，则在三角形中 ，由余弦定理可得，将代入可得.故选C .点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题.17定义运算，若复数满足，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：先根据定义运算化简求出复数z,再求详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以，所以，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数18欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.详解：，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则， ，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.20为虚数单位，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算得到，即，即可求解答案.详解：由复数的运算可知，则，所以，故选C.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，得到式子的计算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 21（1）设集合，且，求实数的取值范围.（2）设，是两个复数，已知，且是纯虚数，求.【答案】(1) .（2）或.【解析】【分析】（1）移项通分，直接利用分式不等式的解法化简集合，然后对分三种情况讨论，分别利用包含关系列不等式求解即可；（2）设，由，可得，由是纯虚数，可得，联立求解即可的结果.【详解】（1）由得，得所以集合，又，当即时，满足当即时，满足当即时， ，解得综上所述，实数的取值范围是（2）解：设，+b2=22，即，又，且是纯虚数，由得，.或.【点睛】本题主要考查集合的子集，以及复数的基本运算与基本概念，属于中档题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.22已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可【详解】， 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.23已知复数其中i为虚数单位当实数m取何值时，复数z是纯虚数；若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）由题意得，解得时，复数z为纯虚数由题意得，解得，时，复数z对应的点位于第四象限点睛：本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24已知复数满足: 求的值【答案】 【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.详解：设，而即 则 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25已知，为实数.（1）若，求；（2）若，求实数，的值.【答案】（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.详解：（1），. ，；（2），.，解得，的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分26已知复数.实数取什么值时，是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】(1) 当时，为实数.(2) 当 时，为虚数.(3) 不存在实数使得为纯虚数.【解析】分析：根据复数的有关概念建立等量关系关系即可详解：（1）若复数是实数则，即，即a=6点睛：本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键27设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算。【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得 ，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1当时，左边，右边，所以命题成立2假设当时，命题成立，即，则当时， 所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2） 由（1）结论得 点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.28已知复数（为虚数单位，）.（1）若是实数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）由复数的运算法则可得.据此得到关于实数m的方程组，解得.（2）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得.点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.29如果，求实数的值.【答案】【解析】分析：由复数相等的充分必要条件得到关于x,y的方程组，求解方程组可得.详解：由题意得，解得.点睛：本题主要考查复数相等的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、填空题30设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数_.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.
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