2019年高考数学一轮总复习 专题28 复数检测 文.doc

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专题28复数的概念及运算本专题特别注意:1.复数四则运算2. 复数加减的几何意义3. 复数与数列的综合4.复数与二项式定理的综合问题 5. 复数的模和共轭复数问题【学习目标】1理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,并会应用2了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义,会简单应用【方法总结】1.设zabi(a,bR),利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数运算的几何意义,转化条件和结论,有效利用数和形的结合,取得事半功倍的效果.【高考模拟】:一、单选题1已知,其中是虚数单位,是复数的共轭复数,则复数( )A B C D 【答案】C【解析】【分析】化简原式,利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,求得复数,从而可得结果.【详解】,故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.2已知是虚数单位,则复数在复平面上所对应的点的坐标为( )A B C D 【答案】D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数3(2017太原市一模)已知是虚数单位,则复数的共轭复数是( )A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.【详解】,故所求共轭复数为,故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算,是基础题.4已知为虚数单位,复数,则下列命题为真命题的是( )A 的共轭复数为 B 的虚部为-1C 在复平面内对应的点在第一象限 D 【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再判断每一个选项的真假.【点睛】(1)本题主要考查复数的计算,考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b,不是bi.5欧拉公式 (为虚数本位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数的模为( )A B C 1 D 【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin,再由复数模的计算公式得答案【详解】由题意,=cos+isin,表示的复数的模为故选:C【点睛】本题以欧拉公式为背景,考查利用新定义解决问题的能力,考查了复数模的求法,属于基础题6若在复平面内,点所对应的复数为,则复数的虚部为( )A 12 B 5 C D 【答案】D【解析】【分析】先求复数z,再求复数,再求它的虚部.【详解】由题得,所以它的虚部为-12.故答案为:D.【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b,不是bi.7读了高中才知道,数绝对不止1,2,3啊,比如还有这种奇葩数,他的平方居然是负数!那么复数在复平面内对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】A【解析】【分析】运用复数除法法则运算得到结果【详解】由题意得,在复平面内对应的点为在第一象限,故选【点睛】本题考查了复数的几何意义,根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案8已知是虚数单位,复数是的共轭复数,复数,则下面说法正确的是( )A 在复平面内对应的点落在第四象限 B C 的虚部为1 D 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i2,再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题9设复数满足,则( )A 3 B C 9 D 10【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出【详解】满足=2i,则|z|=3故选:A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10复数等于( )A B C D 【答案】C【解析】【分析】化简分式,分子、分母分别平方,再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】,故选:C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算,是基础题11设为复数的共轭复数,则( )A B C D 【答案】A【解析】【分析】先求出,从而求出的值即可.【详解】,共轭复数,则.故选:A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数,是一道基础题.12为虚数单位,则( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由复数的基本运算性质,可得,其中为自然数,则,即可求解答案.详解:由复数的基本运算性质,可得,其中为自然数,设,两边同乘可得:两式相减可得 所以,故选C.点睛:本题主要考查了虚数的运算性质的应用,其中熟记虚数的运算性质,利用乘公比错误相减法求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.13欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,他将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于( )A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】B【解析】分析:由欧拉公式,可得,结合三角函数值的符号,即可得出结论.详解:由欧拉公式,可得,因为,所以表示的复数在复平面中位于第二象限,故选B.点睛:该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题,在解题的过程中,首先应用欧拉公式将复数表示出来,之后借助于三角函数值的符号求得结果.14下列3个命题:若,则;若是纯虚数,则;若,且,则.其中真命题的个数是( )A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】分析:通过举反例可判断错误,由复数的乘法法则判断正确,由复数的概念可判断错误.详解:令,满足,故错误.是纯虚数,即,则,故正确.只有当时,才可以比较大小,故错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛:本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质,特殊值排除法常可用于此类问题的求解.15对于任意的两个数对和,定义运算,若,则复数为 ( )A B C D 【答案】D【解析】分析:利用定义,列出方程表示出,分子、分母同时乘以得到的值详解:因为,又所以 所以 故选:D点睛:本题是新定义的问题,解题的关键是理解新定义,将问题转化为熟悉的问题来解决16已知复数满足,则等于( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由题可知,表示平行四边形的相邻两边,表示平行四边形的一条对角线,求另一条一条对角线的长.详解:由题可知,表示平行四边形的相邻两边,表示平行四边形的一条对角线则由题意为等边三角形,故,则在三角形中 ,由余弦定理可得,将代入可得.故选C .点睛:本题考查复数加减法的几何意义,余弦定理等,属中档题.17定义运算,若复数满足,则( )A B C D 【答案】D【解析】分析:先根据定义运算化简求出复数z,再求详解:由题得iz+z=-2,所以(1+i)z=-2,所以,所以,故答案为:D.点睛:(1)本题主要考查复数的运算和共轭复数,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数18欧拉公式(为虚数单位),是由著名数学家欧拉发明的,他将指数函数定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,若将表示的复数记为,则的值为( )A B C D 【答案】A【解析】分析:由欧拉公式可求得,再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.详解:,故选A.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.19对于复数,给出下列三个运算式子:(1),(2),(3).其中正确的个数是( )A B C D 【答案】D【解析】分析:根据复数的几何意义可得(1)正确;根据复数模的公式计算可得到(2)正确;根据复数乘法运算法则可判断(3)正确,从而可得结果.详解:根据复数的几何意义,由三角形两边之和大于第三边可得,(1)正确;设,则, ,(2)正确;根据复数乘法的运算法则可知,(3)正确,即正确命题的个数是,故选D.点睛:本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则,意在考查基础知识掌握的熟练程度,以及综合运用所学知识解决问题的能力,属于难题.20为虚数单位,则( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由复数的基本运算得到,即,即可求解答案.详解:由复数的运算可知,则,所以,故选C.点睛:本题主要考查了虚数的运算性质的应用,其中熟记虚数的运算性质,得到式子的计算规律是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 21(1)设集合,且,求实数的取值范围.(2)设,是两个复数,已知,且是纯虚数,求.【答案】(1) .(2)或.【解析】【分析】(1)移项通分,直接利用分式不等式的解法化简集合,然后对分三种情况讨论,分别利用包含关系列不等式求解即可;(2)设,由,可得,由是纯虚数,可得,联立求解即可的结果.【详解】(1)由得,得所以集合,又,当即时,满足当即时,满足当即时, ,解得综上所述,实数的取值范围是(2)解:设,+b2=22,即,又,且是纯虚数,由得,.或.【点睛】本题主要考查集合的子集,以及复数的基本运算与基本概念,属于中档题. 复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.22已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入关系式,化简即可【详解】, 【点睛】复数的运算,难点是乘除法法则,设,则,.23已知复数其中i为虚数单位当实数m取何值时,复数z是纯虚数;若复数z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围【答案】(1)(2)由题意得,解得时,复数z为纯虚数由题意得,解得,时,复数z对应的点位于第四象限点睛:本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题24已知复数满足: 求的值【答案】 【解析】分析:利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.详解:设,而即 则 点睛:本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.25已知,为实数.(1)若,求;(2)若,求实数,的值.【答案】(1);(2)-3,2【解析】分析:(1)利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简,利用复数模的公式求解即可;(2)利用复数除法的运算法则将,化为,由复数相等的性质可得,从而可得结果.详解:(1),. ,;(2),.,解得,的值为:-3,2.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分26已知复数.实数取什么值时,是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【答案】(1) 当时,为实数.(2) 当 时,为虚数.(3) 不存在实数使得为纯虚数.【解析】分析:根据复数的有关概念建立等量关系关系即可详解:(1)若复数是实数则,即,即a=6点睛:本题主要考查复数的有关概念,根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键27设为虚数单位,为正整数,(1)证明:;(2),利用(1)的结论计算。【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析:(1)利用数学归纳法先证明,先证明当时成立,假设当时,命题成立,只需证明当时,命题也成立,证明过程注意三角函数和差公式的应用;(2)由(1)结论得 ,结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解:(1)1当时,左边,右边,所以命题成立2假设当时,命题成立,即,则当时, 所以,当时,命题也成立综上所述,(为正整数)成立(2) 由(1)结论得 点睛:本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明,属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立;(2)假设时结论正确,证明时结论正确(证明过程一定要用假设结论);(3)得出结论.28已知复数(为虚数单位,).(1)若是实数,求的值;(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限,求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】分析:(1)由复数的运算法则可得.据此得到关于实数m的方程组,解得.(2)因为复数在复平面内对应的点位于第四象限,所以,解得.点睛:本题主要考查复数的运算法则,已知复数的类型求参数的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.29如果,求实数的值.【答案】【解析】分析:由复数相等的充分必要条件得到关于x,y的方程组,求解方程组可得.详解:由题意得,解得.点睛:本题主要考查复数相等的充分必要条件及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、填空题30设是一元二次方程的两个虚根,若,则实数_.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根,计算它们的乘积的模可得的值.【详解】,因为方程有两个虚根,所以.又原方程可化为,故两虚根为,两个虚根为共轭复数,故,故,填.【点睛】对于实系数的一元二次方程,当时,方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.
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