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23.1抛物线的定义与标准方程读教材填要点1抛物线的定义平面上到一定点F和定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程图象标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y小问题大思维1在抛物线定义中，若去掉条件“Fl”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线2到定点A(3,0)和定直线l：x3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y212x.3若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，其焦点坐标为，则2，故p4.所以抛物线的标准方程是y28x.求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上自主解答(1)当抛物线的焦点在x轴上时，可设抛物线方程为y22px(p0)，把点(3,2)代入得222p(3)，p.所求抛物线方程为y2x.当抛物线的焦点在y轴上时，可设抛物线方程为x22py(p0)，把(3,2)代入得(3)22p2，p.所求抛物线方程为x2y.综上，所求抛物线的方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，4，p8，抛物线方程为y216x，当焦点为(0，2)时，设抛物线方程为x22py(p0)，2，p4，抛物线方程为x28y，综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x2y40与x轴的交点是(4,0)，与y轴的交点是(0，2)，则抛物线的准线方程为x4或y2.当准线方程为x4时，可设方程为y22px，则4，p8，抛物线方程为y216x.当准线方程为y2时，可设方程为x22py，则2，p4，抛物线方程为x28y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x28y.求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2mx或x2ny，利用已知条件求出m，n的值1若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.答案：2x12抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y22ax(a0)，点A(m，3)由抛物线的定义得|AF|5，又(3)22am，a1或a9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程 根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程(1)y24x；(2)2y2x0.自主解答(1)y24x，抛物线的焦点在x轴的负半轴上，又2p4，p2.焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.(2)由2y2x0，得y2x.抛物线的焦点在x轴的正半轴上，又2p，p焦点坐标为，准线方程为x.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系步骤：化为标准方程；明确开口方向；求p值；写焦点坐标和准线方程3求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)yx2；(2)x2ay(a0)解：(1)将抛物线方程yx2变形为x28y，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p8，所以p4.所以焦点坐标为(0，2)，准线方程为y2.(2)当a0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，又2pa，所以焦点坐标为，准线方程为y；当a0)，则由4，得p8，故所求抛物线的标准方程为y216x.答案：y216x6若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标解：由抛物线定义，设焦点为F.则准线为x，M到准线的距离为d，则d|MF|10.则(9)10，p2.故抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线方程得y6.M(9,6)或M(9，6)一、选择题1抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3B6C.D.解析：将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.答案：C2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D4解析：椭圆右焦点为(2,0)，2.p4.答案：D3已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为(|AF|BF|).答案：C4已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y解析：双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.答案：D二、填空题5若抛物线y28x上的一点P到其焦点的距离为10，则P点的坐标为_解析：设P(xP，yP)，点P到焦点的距离等于它到准线x2的距离，xP8，yP8.故P点坐标为(8，8)答案：(8，8)6动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过点_解析：动圆恒与直线x20相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)答案：(2,0)7已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_解析：如图，过点Q作QA垂直准线l，垂足为A，则QA与抛物线的交点即为P点易求P.答案：8设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.解析：如图，由直线AF的斜率为，得AFH60，FAH30，PAF60.又由抛物线的定义知|PA|PF|，PAF为等边三角形由|HF|4得|AF|8，|PF|8.答案：8三、解答题9求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2，4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标解：由已知设抛物线的标准方程是x22py，(p0)或y22px(p0)，把P(2，4)代入x22py或y22px得p或p4，故所求的抛物线的标准方程是x2y或y28x.当抛物线方程是x2y时，焦点坐标是F，准线方程是y.当抛物线方程是y28x时，焦点坐标是F(2,0)，准线方程是x2.10设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为.(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即|PB|PF|的最小值为4.
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