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第二章 概率学习目标1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题1事件概率的求法(1)条件概率的求法利用定义分别求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B).借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A|B).(2)相互独立事件的概率若事件A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(3)n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n，q1p.2随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤明确随机变量X取哪些值；计算随机变量X取每一个值时的概率；将结果用二维表格形式给出计算概率时注意结合排列与组合知识(2)两种常见的分布列超几何分布若一个随机变量X的分布列为P(Xr)，其中r0,1,2,3，l，lmin(n，M)，则称X服从超几何分布二项分布若随机变量X的分布列为P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)3离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的概率分布如下表：Xx1x2xnPp1p2pn则E(X)x1p1x2p2xnpn，令E(X)，则V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn.(2)当XH(n，M，N)时，E(X)，V(X).(3)当XB(n，p)时，E(X)np，V(X)np(1p)类型一条件概率的求法例1口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法(1)P(B|A).(2)P(B|A).在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数跟踪训练1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率类型二互斥、对立、独立事件的概率例2某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的概率分布和均值反思与感悟在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式(1)P(A)1P()(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(3)若事件A，B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)跟踪训练2红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求P(1)类型三离散型随机变量的概率分布、均值和方差例3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)，(1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的概率分布；(2)若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E()，V()反思与感悟求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的概率分布及均值类型四概率的实际应用例4某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的概率分布和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即0)的概率反思与感悟解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想跟踪训练4某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量写出X的概率分布1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为_2在5道题中有3道理科题和2道文科题事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P(B|A)_.3设随机变量的分布列为P(k)C()k()nk，k0,1,2，n，且E()24，则V()的值为_4设X为随机变量，XB(n，)，若X的方差为V(X)，则P(X2)_.5盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差1条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率计算问题2求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“P(AB)1P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率3求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质答案精析题型探究例1解记事件A：第一次取出的球是红球；事件B：第二次取出的球是红球(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有45个，所以P(A).(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有43个，所以P(AB).(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A).跟踪训练1解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.方法一P(A|B).方法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，n(B)6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)3.P(A|B).例2解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X0)P( )，P(X100)P( F)，P(X120)P(E )，P(X220)P(E F)，故所求的概率分布如下表：X0100120220PE(X)0100120220140.跟踪训练2解(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5.由对立事件的概率公式知，P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知，的可能取值为0,1,2,3.P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，所以P(1)P(0)P(1)0.45.例3解(1)由已知，随机变量的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为0，P(01)，P(02)，P(03)，所以P(2)，P(3)2，P(4)2，P(5)2，P(6).故的概率分布为23456P(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p.因为随机变量B，所以E()np10，V()np(1p)10.跟踪训练3解(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)，P(A3)C()2(1)2.所以，甲队以30,31,32胜利的概率分别是，.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C(1)2()2(1).由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性，得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2).故X的概率分布为X0123P所以E(X)0123.例4解(1)三个问题均答错，得00(10)10(分)三个问题均答对，得10102040(分)三个问题一对两错，包括两种情况：前两个问题一对一错，第三个问题错，得100(10)0(分)；前两个问题错，第三个问题对，得002020(分)三个问题两对一错，也包括两种情况：前两个问题对，第三个问题错，得1010(10)10(分)；第三个问题对，前两个问题一对一错，得2010030(分)故的可能取值为10,0,10,20,30,40.P(10)0.20.20.40.016，P(0)C0.20.80.40.128，P(10)0.80.80.40.256，P(20)0.20.20.60.024，P(30)C0.80.20.60.192，P(40)0.80.80.60.384.所以的概率分布为10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384所以E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P(0)1P(0)10.0160.984.跟踪训练4解(1)A直接感染一个人有2种情况：分别是ABCD和AB，概率是；(2)A直接感染二个人有3种情况：分别是A，A，A，概率是；(3)A直接感染三个人只有一种情况：ABDC，概率是.随机变量X的概率分布是X123P当堂训练1.2.3.84.5解取出的白球个数可能取值为0,1,2.0时表示取出的两个球都为黑球，即P(0).1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球，即P(1).2表示取出的两个球均为白球，即P(2).于是E()0121.2，V()(01.2)2(11.2)2(21.2)20.36.
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