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专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题一方法综述利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧二解题策略类型一 “比较法”构造差函数证明不等式【例1】【2018届广州模拟】已知函数为自然对数的底数，为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1.(1)求的值及函数的极值；(2)证明：当【答案】见解析.【解析】 (2)证明：令由(1)得故在R上单调递增所以当【指点迷津】当题目中给出简单的基本初等函数，例如，进而证明在某个取值范围内不等式成立时，可以类比作差法，构造函数，进而证明即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具此外，在能够说明的前提下，也可以类比作商法，构造函数进而证明【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数，() 设函数，讨论函数的单调性；（）求证：当时，【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（）要证，即证，令， 当时，成立； 当时， 当时，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即成立，故原不等式成立类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数.(1)若上存在极值，求实数m的取值范围；(2)求证：当时，【答案】（1）;（2）见解析【解析】（2）要证即证 令，则再令，则当时，在上是增函数，在上是增函数当时， 令，则当时，即在上是减函数当时，所以，即【指点迷津】当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉这时可以将原不等式合理拆分为的形式，进而证明即可，此时注意配合使用导数工具在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准【举一反三】【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知函数（）（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（为自然对数的底数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】分析：（1）根据函数在上是减函数知其导数在上恒成立，结合二次函数性质可求得的范围（2）先假设存在，对函数求导，根据的值分情况讨论在上的单调性和最小值取得，可知当能够保证当时有最小值3（3）令由（2）知，令可求出其最大值为3，即有，化简即可得证.解：（1）在上恒成立，令，有得，得（2）假设存在实数，使有最小值3，当时，在上单调递减，（舍去），当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3 类型三 “换元法”构造函数证明不等式【例3】【四川省成都石室中学2019届高三上学期入学】已知函数， ，其中（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明： .【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1) 由已知得，,解不等式即可得到单调区间；（2）由题意可得，要证，即证：，即证：.解：（1）由已知得， 所以， 当时， ；当时， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 【指点迷津】若两个变元x1，x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式(其中m(x1，x2)为x1，x2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x1，x2)t，使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元【举一反三】【2018届四川省资阳市4月模拟（三诊）】已知函数（其中）（1）当时，求零点的个数k的值；（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（2）由（1）知的两个零点为，不妨设，于是且，两式相减得（*）， 令，则将代入（*）得，进而，所以，下面证明，其中，即证明，设，则，令 ，则，所以为增函数，即为增函数，故，故为减函数，于是，即所以有，从而而由，得，所以，得证类型四 “转化法”构造函数证明不等式【例4】【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：【答案】（）函数的单调递增区间为和，单调递减区间，其中， 且.（）证明见解析【解析】（）由韦达定理和知，则x20，a=2x2（1+x2），于是f（x2）=2x2（1+x2）ln（1+x2），设函数g（t）=t22t（1+t）ln（1+t），则g（t）=2（1+2t）ln（1+t），当t=时，g（t）=0，当t（，0）时，g（t）0，故g（t）在，0）上是增函数于是，当t（，0），g（t）g（）=，因此f（x2）=g（x2）【指点迷津】在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证： 【答案】（1）；（2）见解析【解析】 (1)若时，则是区间上的增函数，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上， ，函数是增函数；在区间 故在区间 三强化训练1.【山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下期末】设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】，由已知，故a=-2,b=-2.，当时，当时，故f(x)在单调递减，在单调递减； ，即，设，所以g(x)在递增，在递减，当x0时，.2. 【2018届高三第一次全国大联考】已知函数有两个零点（）.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】作出直线，由图可知，实数的取值范围为.（2）由题意，即，所以.故，即，整理得，即，不妨设，由题意得.则，所以.所以，故 记函数（），则，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以.而，所以，故，即3. 【2018届吉林省长春市高三质量监测（三）】已知函数.（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；（2）设，当时，若，其中，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】（2） ， 设 ，则， 在上递增且令，设， ， ，在上递增， ， ，令 即：又 ， 即： ， ， 在上递增 ，即：，得证. 4【2018届山东省济南市高三一模】已知函数 有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）设， 是的两个零点，证明： .【答案】(1) (2)见解析【解析】当时，令得： ，则+0-增极大减（ii）当时， ， ，在区间上有一个零点， ，设， ，在上单调递减，则，在区间上有一个零点，那么， 恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是.（1）【解法二】函数的定义域为： . ，当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. 当时，令得： ，则+0-增极大减 .要使函数有两个零点，则必有，即，设，则在上单调递增，又，；当时： ，在区间上有一个零点；设，在上单调递增，在上单调递减， ，则，在区间上有一个零点，那么，此时恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是.（2）【证法一】由（1）可知，有两个不同零点，且当时， 是增函数；当时， 是减函数；不妨设： ，则： ；设， ，则： .当时， ，单调递增，又， ， 在上单调递减，.当时， ，单调递增，又， ， ， 在上单调递减，.5.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知函数， .(I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求实数的取值范围；()若,证明: 【答案】（）；（）见解析【解析】（）由（）在上单调递增，即，令得， 在（）中，令由在上均单调递减得： 所以，即，取得，即，由得： 综上： 6.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1） （2）见解析【解析】（2）因为，所以，.令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.所以，即当时，所以在上单调递减.又因为所以当时，当时，于是对恒成立. 7. 【四川省高2019届高三第一次诊断】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】（2）证明：因为，所以由于，等价于，令，设函数当时，所以，所以在上是单调递增函数，又，所以 ，所以，即等价于，令，设函数 当时，所以，所以在上是单调递减函数，又，所以 所以，即综上可得：.8.【北京市第八十中学2019届10月月考】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1) ex4y+e=0;(2)证明见解析.【解析】（2）设，则， x（1，+）F（x）0F（x）在（1，+）上为增函数； 又因，在（1，+）上为增函数； 在（1，+）都成立 设，由于=32（2e）0， 则在（1，+）上为增函数，又G（1）=0，若x1时，则 综上：9【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明： .【答案】（1） （2）见解析【解析】（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于.由可得，则.由可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，即，所以原不等式成立，即.10.【贵州省遵义航天高级中学2018届四模】已知函数的两个零点为（1）求实数m的取值范围；（2）求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，又，则在单调递增，故原不等式成立
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