2018-2019学年高二数学10月月考试题 理 (IV).doc

xx-2019学年高二数学10月月考试题 理 (IV)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1“点A在直线l上，l在平面外”， 用符号语言可以表示为 2下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是 （A） （B） （C） （D）3下列三个命题在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 为直线，为平面），则此条件是 ；4如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于 5若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是 6.在三棱锥SABC中，SASBSC1，ASBASCBSC30，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_ _7如图，在高为h，底面半径为r的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则r:h 8九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为16立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛 9现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆锥和圆柱的侧面积和为 10从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的4个顶点，这些几何体(或平面图形)是 (写出所有正确的结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体11如上图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是 12有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则的取值范围是 13如图所示，已知三棱锥的所有侧棱长都为，底面边长都为，平行四边形的四个顶点分别在棱上，则的最小值为 14给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若，则与不共面；若、是异面直线，且，则；若，则；若，则若是两个相交平面，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直；若是两个相交平面，直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线；其中为真命题的是 (写出所有正确的结论的编号)二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1 的中点求证：(1) MN平面ABB1A1； (2) ANA1B 16四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，AB2AP2，PD求证：（1）PA平面PCD； （2）求点C到平面PBD的距离17如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90， PA平面ABCD，PA3，AB2，BC6（1）求异面直线PB与AC所成角的余弦值；（2）若二面角PBDC的大小为，求AD的长18将1张边长为1的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分剩余部分恰好能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为，长方体表面积为S（1）写出S关于的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当S=时，求此时长方体体积 19 如图甲，在直角梯形PBCD中，PBCD，CDBC，BCPB2CD，A是PB的中点 现沿AD把平面PAD折起，使得PAAB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点（1）求证：平面PAE平面PDE； （2）在PA上找一点G，使得FG平面PDE 20如图，在菱形ABCD中，AB2，BAD=60，沿对角线BD将ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点(1) 求线段PQ长度的最小值;(2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值 常州市第一中学xx-xx10月自主检测考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1“点A在直线l上，l在平面外”， 用符号语言可以表示为 2下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是 D （A） （B） （C） （D）3下列三个命题在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 为直线，为平面），则此条件是 ；4如右图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于 5若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是 6.在三棱锥SABC中，SASBSC1，ASBASCBSC30，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_.7如图，在高为h，底面半径为r的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则r:h 8九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为16立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛125 9现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆锥和圆柱的侧面积和为 10从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的4个顶点，这些几何体(或平面图形)是 (写出所有正确的结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体11如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是 812有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则的取值范围是 13已知三棱锥的所有侧棱长都为，底面边长都为，平行四边形的四个顶点分别在棱上，则的最小值为 14给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若，则与不共面；若、是异面直线，且，则；若，则；若，则若是两个相交平面，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直；若是两个相交平面，直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线；其中为真命题的是 二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1 的中点求证：(1) MN平面ABB1A1； (2) ANA1B 15 证明：(1) 取AB的中点P，连结PM，PB1因为M，P分别是AB，AC的中点，所以PMBC，且PMBC在直三棱柱ABC A1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，因为N是B1C1 的中点，所以PMB1N，且PMB1N(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MNPB1，(4分)而MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1(6分)(2) 因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1因为BB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1B1C1(8分)因为ABC90，所以B1C1B1A1因为平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1(10分)因为A1B平面ABB1A1，所以B1C1A1B，即NB1A1B连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B又NB1AB1B1，且AB1，NB1平面AB1N，所以A1B平面AB1N(12分)而AN平面AB1N，所以A1BAN(14分)16四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，AB2AP2，PD求证：（1）PA平面PCD； （2）求点C到平面PBD的距离（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以CDAD又平面PAD平面ABCD，CD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD又AP平面PAD，所以CDAP因为底面ABCD为正方形，AB2，所以AD2因为AP1，PD，所以AP2PD2AD2，因此APPD又CDAP，PDCDD，PD，CD平面PCD，所以PA平面PCD（2） 解：设点C到平面PBD的距离为h由（1）知CD平面PAD，因为PD平面PAD，所以CDPDV三棱锥BPCDSPCDPA(2)1因为ABCD，所以PDAB由（1）知APPD，又APABA，AP，AB平面APB，所以PD平面APB又PB平面APB，所以PDPB因为底面ABCD为正方形，且边长为2，所以BD2，又PD，所以PB于是V三棱锥CPBDSBPDh()hh因为V三棱锥BPCDV三棱锥CPBD，所以h，解得h即点C到平面PBD的距离为17如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90， PA平面ABCD，PA3，AB2，BC6（1）求异面直线PB与AC所成角的余弦值；（2）若二面角PBDC的大小为，求AD的长解：因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD，因为ADBC，ABC90， 所以ABAD以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系AxOy，则B(2，0，0)， C(2，6，0)，P(0，0，3)（1）(2，0，3)， (2，6，0)，所以cos，即异面直线PB与AC所成角的余弦值为（2）设ADa(a0)，则D(0，a，0)，所以(2，a，0)，设平面PBD的法向量(x，y，z)，则，即，取x，则y，z2，则(，2)又平面BCD的一个法向量(0，0，1)，二面角PBDC的大小为，所以|，即|，解得a2经检验，当AD2，二面角PBDC的大小为【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算18将1张边长为1的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为，长方体表面积为S（1）写出S关于的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当S=时，求此时长方体体积 解（1）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为， 则 解得 8分所以： （2）得，(舍)所以：答：体积为。19 如图甲，在直角梯形PBCD中，PBCD，CDBC，BCPB2CD，A是PB的中点 现沿AD把平面PAD折起，使得PAAB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点（1）求证：平面PAE平面PDE； （2）在PA上找一点G，使得FG平面PDE 解：（1）证明：因为PAAD， PAAB， ABADA，所以PA平面ABCD因为BCPB2CD， A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AEED又由PA平面ABCD， 得PAED， 且PAAEA， 所以ED平面PAE，而ED平面PDE，故平面PAE平面PDE（3）过点F作FHED交AD于H，再过H作GHPD交PA于G， 连结FG由FHED， ED平面PED， 得FH平面PED；由GHPD，PD平面PED，得GH平面PED，又FHGHH，所以平面FHG平面PED所以FG平面PDE再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，易知H是AM的中点，G是AN的中点，从而当点G满足AGAP时，有FG平面PDE20如图，在菱形ABCD中，AB2，BAD=60，沿对角线BD将ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点(1) 求线段PQ长度的最小值;(2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值(第20题)20 取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD，AE=CE=因为AC=，所以AE2+CE2=AC2，所以三角形ACE为直角三角形，所以AECE，所以AE平面BCD (2分)以EB，EC，EA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，0)，A(0，0，)(3分)(1) 设P(a，0，0)，=(0，-，)，则=+=(-a，0)+(0，-，)=(-a，-，)，|=(5分)当a=0，=时，PQ长度最小值为(6分)(2) 由(1)知=，设平面ACD的一个法向量为n=(x，y，z)由nDA，nDC，得 化简，得取n=(，-1，-1)(8分)设PQ与平面ACD所成角为，则sin =|cos|=，故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为(10分)